DIFERENCIAS ENTRE INTEGRALES DE LÍNEA, INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES DE SUPERFICIE

ISADORE NABI

ANÁLISIS PRELIMINAR

Integrales de Línea: Aquí se ve el Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea.

Integrales Múltiples: Aquí se ven el Teorema de Fubinni, los Dos Teoremas de Papus y el Teorema de Green sobre el plano.

Integrales de Superficie: Aquí se ve el Teorema de Stokes y también el Teorema de Gauss o Teorema de la Divergencia.

Sobre el Teorema de Stokes hay que decir que es un equivalente del Teorema de la Divergencia; en realidad tanto los teoremas de Green, de Gauss y de Stokes son equivalentes, aunque aplicables a espacios de diferente dimensionalidad.

UN ANÁLISIS MÁS A FONDO

Integrales de Línea

Con ellas se obtiene el área sobre la curva de una función. Este cálculo se realiza mediante la parametrización de la función (hacer depender a la función de un parámetro, el cual está definido como constante o una variable que aparece en una expresión matemática y cuyos distintos valores dan lugar a distintos casos en un problema) y luego sustituir la función original (la función a integrar) por la nueva función en términos de los parámetros establecidos (y sus diferenciales, obtenidos derivando los parámetros en cuestión). Esta parametrización se lleva a cabo tomando el punto de salida del vector como las constantes c de la parametrización misma y al vector director como los valores k que multiplican al parámetro t, por ejemplo, para el caso de x se tendría x = c + kt. Se dibujará un círculo en medio del signo de integral cuando sea la línea de una curva cerrada.

Fuente: https://www.gregschool.org/integrals/2017/9/27/introduction-to-line-integrals
Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=w8Zf8M49aOs

Integrales Múltiples

Generaliza el concepto de área, donde una integral doble es un volumen, una integral triple es un hipervolumen y así sucesivamente. El Teorema de Fubbini permite cambiar el orden de integración de la función (para integrales triples como máximo). El Primer Teorema de Papus permite encontrar el volumen de un sólido de revolución obtenido por la rotación de un centroide alrededor de una recta en un plano; a su vez, el Segundo Teorema de Papus establece que el centroide de la reunión de dos regiones planas disjuntas A y B está en el segmento de recta que une el centroide A con el centroide B. Finalmente, el Teorema de Green expresa una integral doble extendida a una región R como una integral de línea a lo largo de la curva cerrada que constituye la frontera de R (es análogo al Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea -el cual es en esencia idéntico al de las integrales simples-), por ello se ven primero las integrales de línea y después las de superficie). 

Fuente: https://www.algebrahd.org/multiple-integrals.html
Fuente: https://slideplayer.com/slide/13948962/

Integrales de Superficie

Aquí se calcula el área sobre la superficie de cada lado del sólido en cuestión, entendida esta como la integral doble del producto de la función F multiplicada por el vector normal, cuyos límites de integración exteriores tendrán que variar (obviamente) entre constantes y los interiores puede ser entre constantes o entre funciones. Sin embargo, para simplificar el cálculo de estas áreas, aparece el Teorema de Gauss o de la divergencia, el cual establece que, siendo F(x,y,z) = (P, Q, R), cuya divergencia viene dada por div(F) = dP/dx + dQ/dy + dR/dz, el proceso mencionado al inicio del párrafo será equivalente a la integral triple de la divergencia por dV, donde dV equivale a dx, dy y dz. En el Teorema de Gauss, la ecuación del plano (al despejarla) fungirá como límite de integración de z (que irá de cero a la función), con lo cual se planteará una integral triple en la región omega (los límites de integración de la integral triple en cuestión, cuyos límites de integración variarán según sea el caso, pero los límites exteriores tendrán que ser constantes y los interiores tienen la libertad de ser constantes o funciones), mientras que por el método z desaparece, pues se transforma en F = (x, y, g(x,y)), transformándose en varias integrales dobles (cuyos límites de integración variarán según sea el caso, pero conceptualmente de la misma forma en que lo hacen en las integrales múltiples, pues es una región R). Siempre se dibujará un círculo sobre las integrales cuando se trate de encontrar la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada.

Fuente: https://slideplayer.com/slide/13378715/

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