FUNDAMENTOS GENERALES DE LA PROGRAMACIÓN EN R STUDIO: UN ENFOQUE ESTADÍSTICO-MATEMÁTICO

ISADORE NABI

INTRODUCCIÓN A LOS ENSAYOS CLÍNICOS DESDE LA TEORÍA ESTADÍSTICA Y RSTUDIO: ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN DE PEARSON, SPEARMAN Y KENDALL

isadore NABI

### DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

###ORÍGENES HISTÓRICOS Y GENERALIDADES: https://marxianstatistics.com/2021/09/10/generalidades-sobre-la-prueba-chi-cuadrado/

###En su forma general, la distribución Chi-Cuadrado es una suma de los cuadrados de variables aleatorias N(media=0, varianza=1), véase https://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredDistribution.html.

###Se utiliza para describir la distribución de una suma de variables aleatorias al cuadrado. También se utiliza para probar la bondad de ajuste de una distribución de datos, si las series de datos son independientes y para estimar las confianzas que rodean la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria de una distribución normal.

### COEFICIENTES DE CORRELACIÓN

###Coeficiente de Correlación de Pearson (prueba paramétrica): https://statistics.laerd.com/statistical-guides/pearson-correlation-coefficient-statistical-guide.php, https://www.wikiwand.com/en/Pearson_correlation_coefficient.

###Coeficiente de Correlación de Spearman (prueba no-paramétrica): https://statistics.laerd.com/statistical-guides/spearmans-rank-order-correlation-statistical-guide.php, https://www.wikiwand.com/en/Spearman%27s_rank_correlation_coefficient, https://www.statstutor.ac.uk/resources/uploaded/spearmans.pdf.

###Coeficiente de Correlación de Kendall (prueba no-paramétrica): https://www.statisticshowto.com/kendalls-tau/, https://towardsdatascience.com/kendall-rank-correlation-explained-dee01d99c535, https://personal.utdallas.edu/~herve/Abdi-KendallCorrelation2007-pretty.pdf, https://www.wikiwand.com/en/Kendall_rank_correlation_coefficient.

####Como se verifica en su forma más general [véase Jeremy M. G. Taylor, Kendall’s and Spearman’s Correlation Coefficient in the Presence of a Blocking Variable, (Biometrics, Vol. 43, No. 2 (Jun., 1987), pp.409-416), p. 409], en presencia de “empates”, conocidos también como “observaciones vinculadas” (del inglés “ties”, que, como se verifica en http://www.statistics4u.com/fundstat_eng/dd_ties.html, significa en el contexto de las estadísticas de clasificación de orden -rank order statistics- la existencia de dos o más observaciones que tienen el mismo valor, por lo que imposibilita la asignación de números de rango únicos), es preferible utilizar el coeficiente de correlación de Spearman rho porque su varianza posee una forma más simple (relacionado con el costo computacional, puesto que la investigación de Jeremy Taylor emplea como herramienta de estadística experimental la metodología Monte Carlo, lo que puede verificarse en https://pdodds.w3.uvm.edu/files/papers/others/1987/taylor1987a.pdf).

### RIESGO RELATIVO

####Como se verifica en https://www.wikiwand.com/en/Odds_ratio, el riesgo relativo (diferente a la razón éxito/fracaso y a la razón de momios) es la proporción de éxito de un evento (o de fracaso) en términos del total de ocurrencias (éxitos más fracasos).

### RAZÓN ÉXITO/FRACASO

####Es el cociente entre el número de veces que ocurre un evento y el número de veces en que no ocurre.

####INTERPRETACIÓN: Para interpretar la razón de ataque/no ataque de forma más intuitiva se debe multiplicar dicha razón Ψ (psi) por el número de decenas necesarias Ξ (Xi) para que la razón tenga un dígito d^*∈N a la izquierda del “punto decimal” (en este caso de aplicación hipotético Ξ=1000), resultando así un escalar real υ=Ψ*Ξ (donde υ es la letra griega ípsilon) con parte entera que se interpreta como “Por cada Ξ elementos de la población de referencia bajo la condición especificada (en este caso, que tomó aspirina o que tomó un placebo) estará presente la característica (u ocurrirá el evento, según sea el caso) en (d^*+h) ocasiones, en donde h es el infinitesimal a la derecha del punto decimal (llamado así porque separa no sólo los enteros de los infinitesimales, sino que a su derecha se encuentra la casilla correspondiente justamente a algún número decimal).

### RAZÓN DE MOMIOS

####DEFÍNICIÓN: Es una medida utilizada en estudios epidemiológicos transversales y de casos y controles, así como en los metaanálisis. En términos formales, se define como la posibilidad que una condición de salud o enfermedad se presente en un grupo de población frente al riesgo que ocurra en otro. En epidemiología, la comparación suele realizarse entre grupos humanos que presentan condiciones de vida similares, con la diferencia que uno se encuentra expuesto a un factor de riesgo (mi) mientras que el otro carece de esta característica (mo). Por lo tanto, la razón de momios o de posibilidades es una medida de tamaño de efecto.

####Nótese que es un concepto, evidentemente, de naturaleza frecuentista.

####La razón de momios es el cociente entre las razones de ocurrencia/no-ocurrencia de los tratamientos experimentales estudiados (una razón por cada uno de los dos tratamientos experimentales sujetos de comparación).

### TAMAÑO DEL EFECTO

####Defínase tamaño del efecto como cualquier medida realizada sobre algún conjunto de características (que puede ser de un elemento) relativas a cualquier fenómeno, que es utilizada para abordar una pregunta de interés, según (Kelly y Preacher 2012, 140). Tal y como ellos señalan, la definición es más que una combinación de “efecto” y “tamaño” porque depende explícitamente de la pregunta de investigación que se aborde. Ello significa que lo que separa a un tamaño de efecto de un estadístico de prueba (o estimador) es la orientación de su uso, si responde una pregunta de investigación en específico entonces el estadístico (o parámetro) se convierte en un “tamaño de efecto” y si sólo es parte de un proceso global de predicción entonces es un estadístico (o parámetro) a secas, i.e., su distinción o, expresado en otros términos, la identificación de cuándo un estadístico (o parámetro) se convierte en un tamaño de efecto, es una cuestión puramente epistemológica, no matemática. Lo anterior simplemente implica que, dependiendo del tipo de pregunta que se desee responder el investigador, un estadístico (o parámetro) será un tamaño de efecto o simplemente un estadístico (o parámetro) sin más.

setwd(“C:/Users/User/Desktop/Carpeta de Estudio/Maestría Profesional en Estadística/Semestre II-2021/Métodos, Regresión y Diseño de Experimentos/2/Laboratorios/Laboratorio 2”)

## ESTIMAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON ENTRE TEMPERATURA Y PORCENTAJE DE CONVERSIÓN

###CÁLCULO MANUAL DE LA COVARIANZA

prom.temp = mean(temperatura)

prom.conversion = mean(porcentaje.conversion)

sd.temp = sd(temperatura)

sd.conversion = sd(porcentaje.conversion)

n = nrow(vinilacion)

covarianza = sum((temperatura-prom.temp)*(porcentaje.conversion-prom.conversion))/(n-1)

covarianza

###La covarianza es una medida para indicar el grado en el que dos variables aleatorias cambian en conjunto (véase https://www.mygreatlearning.com/blog/covariance-vs-correlation/#differencebetweencorrelationandcovariance).

###CÁLCULO DE LA COVARIANZA DE FORMA AUTOMATIZADA

cov(temperatura,porcentaje.conversion)

###CÁLCULO MANUAL DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

###Véase https://www.wikiwand.com/en/Pearson_correlation_coefficient (9 de septiembre de 2021).

coef.correlacion = covarianza/(sd.temp*sd.conversion)

coef.correlacion

###CÁLCULO AUTOMATIZADO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

cor(temperatura,porcentaje.conversion) ###Salvo que se especifique lo contrario (como puede verificarse en la librería de R), el coeficiente de correlación calculado por defecto será el de Pearson, sin embargo, se puede calcular también el coeficiente de Kendall (escribiendo “kendall” en la casilla “method” de la sintaxis “cor”) o el de Spearman (escribiendo “spearman” en la casilla “method” de la sintaxis “cor”).

cor(presion,porcentaje.conversion)

###VÍNCULO, SIMILITUDES Y DIFERENCIAS ENTRE CORRELACIÓN Y COVARIANZA

###El coeficiente de correlación está íntimamente vinculado con la covarianza. La covarianza es una medida de correlación y el coeficiente de correlación es también una forma de medir la correlación (que difiere según sea de Pearson, Kendall o Spearman).

###La covarianza indica la dirección de la relación lineal entre variables, mientras que el coeficiente de correlación mide no sólo la dirección sino además la fuerza de esa relación lineal entre variables.

###La covarianza puede ir de menos infinito a más infinito, mientras que el coeficiente de correlación oscila entre -1 y 1.

###La covarianza se ve afectada por los cambios de escala: si todos los valores de una variable se multiplican por una constante y todos los valores de otra variable se multiplican por una constante similar o diferente, entonces se cambia la covarianza. La correlación no se ve influenciada por el cambio de escala.

###La covarianza asume las unidades del producto de las unidades de las dos variables. La correlación es adimensional, es decir, es una medida libre de unidades de la relación entre variables.

###La covarianza de dos variables dependientes mide cuánto en cantidad real (es decir, cm, kg, litros) en promedio covarían. La correlación de dos variables dependientes mide la proporción de cuánto varían en promedio estas variables entre sí.

###La covarianza es cero en el caso de variables independientes (si una variable se mueve y la otra no) porque entonces las variables no necesariamente se mueven juntas (por el supuesto de ortogonalidad entre los vectores, que expresa geométricamente su independencia lineal). Los movimientos independientes no contribuyen a la correlación total. Por tanto, las variables completamente independientes tienen una correlación cero.

## CREAR UNA MATRIZ DE CORRELACIONES DE PEARSON Y DE SPEARMAN

####La vinilación de los glucósidos se presenta cuando se les agrega acetileno a alta presión y alta temperatura, en presencia de una base para producir éteres de monovinil.

###Los productos de monovinil éter son útiles en varios procesos industriales de síntesis.

###Interesa determinar qué condiciones producen una conversión máxima de metil glucósidos para diversos isómeros de monovinil.

cor(vinilacion) ###Pearson

cor(vinilacion, method=”spearman”) ###Spearman

## CREAR UNA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS (LOCALIZADAS ESTAS ÚLTIMAS EN LA DIAGONAL PRINCIPAL DE LA MATRIZ)

cov(vinilacion)

## GENERAR GRÁFICOS DE DISPERSIÓN

plot(temperatura,porcentaje.conversion)

plot(porcentaje.conversion~temperatura)

mod = lm(porcentaje.conversion~temperatura)

abline(mod,col=2)

###La sintaxis “lm” es usada para realizar ajuste de modelos lineales (es decir, ajustar un conjunto de datos a la curva dibujada por un modelo lineal -i.e., una línea recta-, lo cual -si es estadísticamente robusto- implica validar que el conjunto de datos en cuestión posee un patrón de comportamiento geométrico lineal).

###La sintaxis “lm” puede utilizar para el ajuste el método de los mínimos cuadrados ponderados o el método de mínimos cuadrados ordinarios, en función de si la opción “weights” se llena con un vector numérico o con “NULL”, respectivamente).

### La casilla “weights” de la sintaxis “lm” expresa las ponderaciones a utilizar para realizar el proceso de ajuste (si las ponderaciones son iguales para todas las observaciones, entonces el método de mínimos cuadrados ponderados se transforma en el método de mínimos cuadrados ordinarios). Estas ponderaciones son, en términos computacionales, aquellas que minimizan la suma ponderada de los errores al cuadrado.

###Las ponderaciones no nulas pueden user usadas para indicar diferentes varianzas (con los valores de las ponderaciones siendo inversamente proporcionales a la varianza); o, equivalentemente, cuando los elementos del vector de ponderaciones son enteros positivos w_i, en donde cada respuesta y_i es la media de las w_j unidades observacionales ponderadas (incluyendo el caso de que hay w_i observaciones iguales a y_i y los datos se han resumido).

###Sin embargo, en el último caso, observe que no se utiliza la variación dentro del grupo. Por lo tanto, la estimación sigma y los grados de libertad residuales pueden ser subóptimos; en el caso de pesos de replicación, incluso incorrecto. Por lo tanto, los errores estándar y las tablas de análisis de varianza deben tratarse con cuidado.

###La estimación sigma se refiere a la sintaxis “sigma” que estima la desviación estándar de los errores (véase https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/sigma.html).

###Si la variable de respuesta (o dependiente) es una matriz, un modelo lineal se ajusta por separado mediante mínimos cuadrados a cada columna de la matriz.

###Cabe mencionar que “formula” (la primera entrada de la sintaxis “lm”) tiene un término de intersección implícito (recuérdese que toda ecuación de regresión tiene un intercepto B_0, que puede ser nulo). Para eliminar dicho término, debe usarse y ~ x – 1 o y ~ 0 + x.

plot(presion~porcentaje.conversion)

mod = lm(presion~porcentaje.conversion) ###Ajuste a la recta antes mencionado y guardado bajo el nombre “mod”.

abline(mod,col=2) ###Es crear una línea color rojo (col=2) en la gráfica generada (con la función “mod”)

## REALIZAR PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

###Véase https://opentextbc.ca/introstatopenstax/chapter/testing-the-significance-of-the-correlation-coefficient/, https://online.stat.psu.edu/stat501/lesson/1/1.9,

###Para estar casi seguros (en relación al concepto de convergencia) Para asegurar que existe al menos una leve correlación entre dos variables (X,Y) se tiene que probar que el coeficiente de correlación poblacional (r) no es nulo.

###Para que la prueba de hipótesis tenga validez se debe verificar que la distribución de Y para cada X es normal y que sus valores han sido seleccionados aleatoriamente.

###Si se rechaza la hipótesis nula, no se asegura que haya una correlación muy alta.

###Si el valor p es menor que el nivel de significancia se rechaza la Ho de que el coeficiente de correlación entre Y y X es cero en términos de determinado nivel de significancia estadística.

###Evaluar la significancia estadística de un coeficiente de correlación puede contribuir a validar o refutar una investigación donde este se haya utilizado (siempre que se cuenten con los datos empleados en la investigación), por ejemplo, en el uso de modelos lineales de predicción.

###Se puede utilizar la distribución t con n-2 grados de libertad para probar la hipótesis.

###Como se observará a continuación, además de la forma estándar, también es posible calcular t como la diferencia entre el coeficiente de correlación.

###Si la probabilidad asociada a la hipótesis nula es casi cero, puede afirmarse a un nivel de confianza determinado de que la correlación es altamente significativa en términos estadísticos.

###FORMA MANUAL

ee = sqrt((1-coef.correlacion^2)/(n-2))

t.calculado = (coef.correlacion-0)/ee ###Aquí parece implicarse que el valor t puede calcularse como el cociente entre el coeficiente de correlación muestral menos el coeficiente de correlación poblacional sobre el error estándar de la media.

2*(1-pt(t.calculado,n-2))

###FORMA AUTOMATIZADA

cor.test(temperatura,porcentaje.conversion) ###El valor del coeficiente de correlación que se ha estipulado (que es cero) debe encontrarse dentro del intervalo de confianza al nivel de probabilidad pertinente para aceptar Ho y, caso contrario, rechazarla.

cor.test(temperatura,presion)

###Como se señala en https://marxianstatistics.com/2021/09/05/analisis-teorico-de-la-funcion-cuantil-en-r-studio/,  calcula el valor umbral x por debajo del cual se encuentran las observaciones sobre el fenómeno de estudio en una proporción P de las ocasiones (nótese aquí una definición frecuentista de probabilidad), incluyendo el umbral en cuestión.

qt(0.975,6)

### EJEMPLO DE APROXIMACIÓN COMPUTACIONAL DE LA DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

###El intervalo de confianza se calcula realizando la transformación-z de Fisher (tanto con la función automatizada de R como con la función personalizada elaborada) como a nivel teórico), la cual se utiliza porque cuando la transformación se aplica al coeficiente de correlación muestral, la distribución muestral de la variable resultante es aproximadamente normal, lo que implica que posee una varianza que es estable sobre diferentes valores de la correlación verdadera subyacente (puede ampliarse más en https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_transformation).

coef.correlacion+c(-1,1)*qt(0.975,6)*ee ###Intervalo de confianza para el estadístico de prueba sujeto de hipótesis (el coeficiente de correlación, en este caso) distribuido como una distribución t de Student.

coef.correlacion+c(-1,1)*qnorm(0.975)*ee ###Intervalo de confianza para el estadístico de prueba sujeto de hipótesis (el coeficiente de correlación, en este caso) distribuido normalmente.

## CASO DE APLICACIÓN HIPOTÉTICO

###En un estudio sobre el metabolismo de una especie salvaje, un biólogo obtuvo índices de actividad y datos sobre tasas metabólicas para 20 animales observados en cautiverio.

rm(list=ls()) ###Remover todos los objetos de la lista

actividad <- read.csv(“actividad.csv”, sep = “,”, dec=”.”, header = T)

attach(actividad)

n=nrow(actividad)

str(actividad)####”str” es para ver qué tipo de dato es cada variable.

plot(Indice.actividad,Tasa.metabolica)

###Coeficiente de Correlación de Pearson

cor(Indice.actividad,Tasa.metabolica, method=”pearson”)

###Se rechaza la hipótesis nula de que la correlación de Pearson es 0.

###Coeficiente de correlación de Spearman

(corr = cor(Indice.actividad,Tasa.metabolica, method=”spearman”))

(t.s=corr*(sqrt((n-2)/(1-(corr^2)))))

(gl=n-2)

(1-pt(t.s,gl))*2

###Se rechaza la hipótesis nula de que la correlación de Spearman es 0.

###NOTA ADICIONAL:

###Ambas oscilan entre -1 y 1. El signo negativo denota la relacion inversa entre ambas. La correlacion de Pearson mide la relación lineal entre dos variables (correlacion 0 es independencia lineal, que los vectores son ortogonales). La correlación de Pearson es para variables numérica de razón y tiene el supuesto de normalidad en la distribución de los valores de los datos. Cuando los supuestos son altamente violados, lo mejor es usar una medida de correlación no-paramétrica, específicamente el coeficiente de Spearman. Sobre el coeficiente de Spearman se puede decir lo mismo en relación a la asociación. Así, valores de 0 indican correlación 0, pero no asegura que por ser cero las variables sean independientes (no es concluyente).

### TABLAS DE CONTINGENCIA Y PRUEBA DE INDEPENDENCIA

###Una tabla de contingencia es un arreglo para representar simultáneamente las cantidades de individuos y sus porcentajes que se presentan en cada celda al cruzar dos variables categóricas.

###En algunos casos una de las variables puede funcionar como respuesta y la otra como factor, pero en otros casos sólo interesa la relación entre ambas sin intentar explicar la dirección de la relación.

###CASO DE APLICACIÓN HIPOTÉTICO

###Un estudio de ensayos clínicos trataba de probar si la ingesta regular de aspirina reduce la mortalidad por enfermedades cardiovasculares. Los participantes en el estudio tomaron una aspirina o un placebo cada dos días. El estudio se hizo de tal forma que nadie sabía qué pastilla estaba tomando. La respuesta es que si presenta o no ataque cardiaco (2 niveles),

rm(list=ls())

aspirina = read.csv(“aspirina.csv”, sep = “,”, dec=”.”, header = T)

aspirina

str(aspirina)

attach(aspirina)

names(aspirina)

str(aspirina)

View(aspirina)

#### 1. Determinar las diferencias entre la proporción a la que ocurrió un ataque dependiendo de la pastilla que consumió. Identifique el porcentaje global en que presentó ataque y el porcentaje global en que no presentó.

e=tapply(aspirina$freq,list(ataque,pastilla),sum) ###Genera la estructura de la tabla con la que se trabajará (la base de datos organizada según el diseño experimental previamente realizado).

prop.table(e,2) ###Riesgo Relativo columna. Para verificar esto, contrástese lo expuesto al inicio de este documento con la documentación CRAN [accesible mediante la sintaxis “?prop.table”] para más detalles.

prop.table(e,1) ###Riesgo Relativo fila. Para verificar esto, contrástese lo expuesto al inicio de este documento con la documentación CRAN [accesible mediante la sintaxis “?prop.table”] para más detalles.

(et=addmargins(e)) ###Tabla de contingencia.

addmargins(prop.table(e)) ####Distribución porcentual completa.

###Si se asume que el tipo de pastilla no influye en el hecho de tener un ataque cardíaco, entonces, debería de haber igual porcentaje de ataques en la columna de médicos que tomaron aspirina que en la de los que tomaron placebo.

###Se obtiene el valor esperado de ataques y no ataques.

### Lo anterior se realiza bajo el supuesto de que hay un 1.3% de ataques en general y un 98.7% de no ataques.

#### 2. Usando los valores observados y esperados, calcular el valor de Chi-Cuadrado para determinar si existe dependencia entre ataque y pastilla?

###Al aplicar la distribución Chi cuadrado, que es una distribución continua, para representar un fenómeno discreto, como el número de casos en cada unos de los supuestos de la tabla de 2*2, existe un ligero fallo en la aproximación a la realidad. En números grandes, esta desviación es muy escasa, y puede desecharse, pero cuando las cantidades esperadas en alguna de las celdas son números pequeños- en general se toma como límite el que tengan menos de cinco elementos- la desviación puede ser más importante. Para evitarlo, Yates propuso en 1934 una corrección de los métodos empleados para hallar el Chi cuadrado, que mejora la concordancia entre los resultados del cálculo y la distribución Chi cuadrado. En el articulo anterior, correspondiente a Chi cuadrado,  el calculador expone, además de los resultados de Chi cuadrado, y las indicaciones para decidir, con arreglo a los límites de la distribución para cada uno de los errores alfa admitidos, el rechazar o no la hipótesis nula, una exposición de las frecuencias esperadas en cada una de las casillas de la tabla de contingencia, y la advertencia de que si alguna de ellas tiene un valor inferior a 5 debería emplearse la corrección de Yates. Fuente: https://www.samiuc.es/estadisticas-variables-binarias/valoracion-inicial-pruebas-diagnosticas/chi-cuadrado-correccion-yates/.

###Como se señala en [James E. Grizzle, Continuity Correction in the χ2-Test for 2 × 2 Tables, (The American Statistician, Oct., 1967, Vol. 21, No. 4 (Oct., 1967), pp. 28-32), p. 29-30], técnicamente hablando, la corrección de Yates hace que “(…) las probabilidades obtenidas bajo la distribución χ2 bajo la hipótesis nula converjan de forma más cercana con las probabilidades obtenidas bajo el supuesto de que el conjunto de datos fue generado por una muestra proveniente de la distribución hipergeométrica, i.e., generados bajo el supuesto que los dos márgenes de la tabla fueron fijados con antelación al muestreo.”

###Grizzle se refiere con “márgenes” a los totales de la tabla (véase https://www.tutorialspoint.com/how-to-create-a-contingency-table-with-sum-on-the-margins-from-an-r-data-frame). Además, la lógica de ello subyace en la misma definición matemática de la distribución hipergeométrica. Como se puede verificar en RStudio mediante la sintaxis “?rhyper”, la distribución hipergeométrica tiene la estructura matemática (distribución de probabilidad) p(x) = choose(m, x) choose(n, k-x)/choose(m+n, k), en donde m es el número de éxitos, n es el número de fracasos lo que ) y k es el tamaño de la muestra (tanto m, n y k son parámetros en función del conjunto de datos, evidentemente), con los primeros dos momentos definidos por E[X] = μ = k*p y la varianza se define como Var(X) = k p (1 – p) * (m+n-k)/(m+n-1). De lo anterior se deriva naturalmente que para realizar el análisis estocástico del fenómeno modelado con la distribución hipergeométrica es necesario conocer la cantidad de sujetos que representan los éxitos y los fracasos del experimento (en donde “éxito” y “fracaso” se define en función del planteamiento del experimento, lo cual a su vez obedece a múltiples factores) y ello implica que se debe conocer el total de los sujetos experimentales estudiados junto con su desglose en los términos binarios ya especificados.

###Lo mismo señalado por Grizzle se verifica (citando a Grizzle) en (Biometry, The Principles and Practice of Statistics in Biological Research, Robert E. Sokal & F. James Rohlf, Third Edition, p. 737), especificando que se vuelve innecesaria la corrección de Yates aún para muestras de 20 observaciones.

###Adicionalmente, merece mención el hecho que, como es sabido, la distribución binomial se utiliza con frecuencia para modelar el número de éxitos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazo de una población de tamaño N. Sin embargo, si el muestreo se realiza sin reemplazo, las muestras extraídas no son independientes y, por lo tanto, la distribución resultante es una hipergeométrica; sin embargo, para N mucho más grande que n, la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación y se usa ampliamente (véase https://www.wikiwand.com/en/Binomial_distribution).

###Grados de libertad correspondientes: número de filas menos 1 por número de columnas menos 1.

###Ho = Hay independencia entre el ataque y las pastillas.

(tabla.freq<-xtabs(freq~ataque+pastilla, data=aspirina))

###La tabla de frecuencias contiene tanto las frecuencias observadas como las esperadas.

###La frecuencia esperada es el conteo de observaciones que se espera en una celda, en promedio, si las variables son independientes.

###La frecuencia esperada de una variable se calcula como el producto entre el cociente [(Total de la Columna j)/(Total de Totales)]*(Total Fila i).

###PRUEBA CHI-CUADRADO AUTOMATIZADA

(prueba.chi<-chisq.test(tabla.freq,correct=F) ) ###La sintaxis “chisq.test” sirve para realizar la prueba de Chi-Cuadrado en tablas de contingencia y para realizar pruebas de bondad de ajuste.

names(prueba.chi)

###PRUEBA CHI-CUADRADO PASO A PASO

(esperado<-prueba.chi$expected) ###valores esperados

(observado<-prueba.chi$observed) ###valores observados

(cuadrados<-(esperado-observado)^2/esperado)

(chi<-sum(cuadrados))

1-pchisq(chi,1) ###Valor de p de la distribución Chi-Cuadrado (especificada mediante el conjunto de datos) calculado de forma no-automatizada.

###Si el valor p es mayor que el nivel de significancia se falla en rechazar Ho, si es menor se rechaza Ho.

###Se rechaza Ho con un nivel de significancia alfa de 0.05. Puesto que se tiene una probabilidad muy baja de cometer error tipo I, i.e., rechazar la hipótesis nula siendo falsa.

GENERALIDADES Y ORÍGENES HISTÓRICOS DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

ISADORE NABI

FUNDAMENTOS GENERALES DEL PROCESO DE ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPÓTESIS EN R STUDIO. PARTE II, CÓDIGO EN R STUDIO CON COMENTARIOS

ISADORE NABI

##ESTABLECER EL DIRECTORIO DE TRABAJO

setwd(“(…)”)

##LEER EL ARCHIVO DE DATOS. EN ESTE CASO, SUPÓNGASE QUE LOS DATOS SON DE UNA MUESTRA ALEATORIA DE 21 TIENDAS UBICADAS EN DIFERENTES PARTES DEL PAÍS Y A LAS CUALES SE LES REALIZÓ VARIOS ESTUDIOS. PARA ELLO SE MIDIERON ALGUNAS VARIABLES QUE SE PRESENTAN A CONTINUACIÓN

###- menor16= es un indicador de limpieza del lugar, a mayor número más limpio. 

###- ipc= es un indice de producto reparado con defecto, indica el % de producto que se pudo reparar y posteriormente comercializar.

###- ventas= la cantidad de productos vendidos en el último mes.

read.table(“estudios.txt”)

## CREAR EL ARCHIVO Y AGREGAR NOMBRES A LAS COLUMNAS

estudios = read.table(“estudios.txt”, col.names=c(“menor16″,”ipc”,”ventas”))

names(estudios)

nrow(estudios)

ncol(estudios)

dim(estudios)

## REVISAR LA ESTRUCTURA DEL ARCHIVO Y CALCULAR LA MEDIA, LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y LOS CUANTILES PARA LAS VARIABLES DE ESTUDIO Y, ADICIONALMENTE, CONSTRÚYASE UN HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE “VENTAS”

str(estudios)

attach(estudios)

ventas

###Nota: la función “attach” sirve para adjuntar la base de datos a la ruta de búsqueda R. Esto significa que R busca en la base de datos al evaluar una variable, por lo que se puede acceder a los objetos de la base de datos simplemente dando sus nombres.

###Nota: Al poner el comando “attach”, la base de datos se adjunta a la dirección de búsqueda de R. Entonces ahora pueden llamarse las columnas de la base de datos por su nombre sin necesidad de hacer referencia a la base de datos ventas es una columna -i.e., una variable- de la tabla estudios). Así, al escribrlo, se imprime (i.e., se genera visualmente para la lectura ocular)

## CALCULAR LOS ESTADÍSTICOS POR VARIABLE Y EN CONJUNTO

mean(ventas)

sd(ventas)

var(ventas)

apply(estudios,2,mean)

apply(estudios,2,sd)

###Nota: la función “apply” sirve para aplicar otra función a las filas o columnas de una tabla de datos

###Nota: Si en “apply” se pone un “1” significa que aplicará la función indicada sobre las filas y si se pone un “2” sobre las columnas

## APLICAR LA FUNCIÓN “quantile”.

quantile(ventas) ###El cuantil de función genérica produce cuantiles de muestra correspondientes a las probabilidades dadas. La observación más pequeña corresponde a una probabilidad de 0 y la más grande a una probabilidad de 1.

apply(estudios,2,quantile)

###Nótese que para aplicar la función “apply” debe haberse primero “llamado” (i.e., escrito en una línea de código) antes la función que se aplicará (en este caso es la función “quantile”).

(qv = quantile(ventas,probs=c(0.025,0.975)))

###Aquí se está creando un vector de valores correspondientes a determinada probabilidad (las ventas, en este caso), que para este ejemplo son probabilidades de 0.025 y 0.975 de probabilidad, que expresan determinada proporción de la unidad de estudio que cumple con una determinada característica (que en este ejemplo esta proporción es el porcentaje de tiendas que tienen determinado nivel de ventas -donde la característica es el nivel de ventas-).

## GENERAR UN HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS PARA LA COLUMNA “ventas”

hist(ventas)

abline(v=qv,col=2)

###Aquí se indica con “v” el conjunto de valores x para los cuales se graficará una línea. Como se remite a “qv” (que es un vector numérico de dos valores, 141 y 243) en el eje de las x, entonces graficará dos líneas color rojo (una en 141 y otra en 243).

###Aquí “col” es la sintaxis conocida como parte de los “parámetros gráficos” que sirve para especificar el color de las líneas

hist(ventas, breaks=7, col=”red”, xlab=”Ventas”, ylab=”Frecuencia”,

     main=”Gráfico

   Histograma de las ventas”)

detach(estudios)

###”breaks” es la indicación de cuántas particiones tendrá la gráfica (número de rectángulos, para este caso).

## GENERAR UNA DISTRIBUCIÓN N(35,4) CON NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS PARA UN TAMAÑO DE MUESTRA n=1000

y = rnorm(1000,35,2)

hist(y)

qy = quantile(y,probs=c(0.025,0.975))

hist(y,freq=F)

abline(v=qy,col=2)

lines(density(y),col=2) #”lines” es una función genérica que toma coordenadas dadas de varias formas y une los puntos correspondientes con segmentos de línea.

## GENERAR UNA FUNCIÓN CON LAS VARIABLES n (CANTIDAD DE DATOS), m (MEDIA MUESTRAL) y  s (DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL) QUE ESTIME Y GRAFIQUE, ADEMÁS DE LOS CÁLCULOS DEL INCISO ANTERIOR, LA MEDIA.

plot.m = function(n,m,s) {

  y = rnorm(n,m,s)

  qy = quantile(y,probs=c(0.025,0.975))

  hist(y,freq=F)

  abline(v=qy,col=2)

  lines(density(y),col=2) ###Aquí se agrega una densidad teórica (una curva que dibuja una distribución de probabilidad -de masa o densidad- de referencia), la cual aparece en color rojo.

  mean(y)

}

## OBTENER UNA MUESTRA DE TAMAÑO n=10 DE N(100, 15^2)

plot.m(10000,100,15)

###Nótese que formalmente la distribución normal se caracteriza siempre por su media y varianza, aunque en la sintaxis “rnorm” de R se introduzca su media y la raíz de su varianza (la desviación estándar muestral)

##Generar mil repeticiones e ingresarlas en un vector. Compárense sus medias y desviaciones estándar.

n=10000; m=100;s=15

I = 1000 ###”I” son las iteraciones

medias = numeric(I)

for(i in 1:I)           {#”for” es un bucle (sintaxis usada usualmente para crear funciones personalizadas)

  sam=rnorm(n,m,s) ###Aquí se crea una variable llamada “sam” (de “sample”, i.e., muestra) que contiene una la distribución normal creada con números pseudoaleatorios.

  medias[i]=mean(sam)   } ###”sam” se almacena en la i-ésima posición la i-ésima media generada con “rnorm” que le corresponde dentro del vector numérico de iteraciones (el que contiene las medias de cada iteración) medias[i] (que contiene los elementos generados con la función “mean(sam)”).

###Un bucle es una interrupción repetida del flujo regular de un programa; pueden concebirse como órbitas (en el contexto de los sistemas dinámicos) computacionales. Un programa está diseñado para ejecutar cada línea ordenadamente (una a una) de forma secuencial 1,2,3,…,n. En la línea m el programa entiende que tiene que ejecutar todo lo que esté entre la línea n y la línea m y repetirlo, en orden secuencial, una cantidad x de veces. Entonces el flujo del programa sería, para el caso de un flujo regular  1,2,3,(4,5,…,m),(4,5,…,m),…*x,m+1,m+2,…,n.

## UTILIZAR LA VARIABLE “medias[i]” GENERADA EN EL INCISO ANTERIOR PARA DETERMINAR LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE ESE CONJUNTO DE MEDIAS (ALMACENADO EN “medias[i]”) Y DETERMINAR SU EQUIVALENCIA CON EL ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA (e.e.)

###Lo anterior evidentemente implica que se está construyendo sintéticamente (a través de bucles computacionales) lo que, por ejemplo, en un laboratorio botánico se registra a nivel de datos (como en el que Karl Pearson y Student hacían sus experimentos y los registraban estadísticamente) y luego se analiza en términos de los métodos de la estadística descriptiva e inferencial (puesto que a esos dominios pertenece el e.e.).

sd(medias)     ### desviación de la distribución de las medias

(ee = s/sqrt(n)  )### equivalencia teórica

## COMPARAR LA DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS

m

mean(medias)

## GRAFICAR LA DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS GENERADA EN EL INCISO ANTERIOR

hist(medias)

qm = quantile(medias,probs=c(0.025,0.975))

hist(medias,freq=F)

abline(v=qm,col=2)

lines(density(medias),col=2)

## GENERAR UN INTERVALO DE CONFIANZA CON UN NIVEL DE 0.95 PARA LA MEDIA DE LAS VARIABLES SUJETAS A ESTUDIO

attach(estudios)

### Percentil 0.975 de la distribución t-student para 95% de área bajo la curva

n = length(ventas) ###Cardinalidad o módulo del conjunto de datos

t = qt(0.975,n-1) ###valor t de la distribución t de student correspondiente a un nivel de probabilidad y n-1 gl

###Se denominan pruebas t porque todos los resultados de la prueba se basan en valores t. Los valores T son un ejemplo de lo que los estadísticos llaman estadísticas de prueba. Una estadística de prueba es un valor estandarizado que se calcula a partir de datos de muestra durante una prueba de hipótesis. El procedimiento que calcula la estadística de prueba compara sus datos con lo que se espera bajo la hipótesis nula (fuente: https://blog.minitab.com/en/adventures-in-statistics-2/understanding-t-tests-t-values-and-t-distributions).

###”qt” es la sintaxis que especifica un valor t determinado de la variable aleatoria de manera que la probabilidad de que esta variable sea menor o igual a este determinado valor t es igual a la probabilidad dada (que en la sintaxis de R se designa como p)

###Para más información véase https://marxianstatistics.com/2021/09/05/analisis-teorico-de-la-funcion-cuantil-en-r-studio/

###”n-1″ son los grados de libertad de la distribución t de student.

#### Error Estándar

ee = sd(ventas)/sqrt(n)

### Intervalo

mean(ventas)-t*ee

mean(ventas)+t*ee

mean(ventas)+c(-1,1)*t*ee ###c(-1,1) es un vector que se introduce artificialmente para poder construir el intervalo de confianza al 95% (u a otro nivel de confianza deseado) en una sola línea de código.

## ELABORAR UNA FUNCIÓN QUE PERMITA CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA AL P% DE NIVEL DE CONFIANZA PARA LA VARIABLE X

ic = function(x,p) {

  n = length(x)

  t = qt(p+((1-p)/2),n-1)

  ee = sd(x)/sqrt(n)

  mean(x)+c(-1,1)*t*ee

}

###Intervalo de 95% confianza para ventas

ic(ventas,0.95)

ic(ventas,0.99)

###El nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más grande pues esto implica que los estadísticos de prueba (las versiones muestrales de los parámetros poblacionales) son más estadísticamente más robustos, por lo que su vecindario de aplicación es más amplio.

ic(ipc,0.95)

ic(menor16,0.95)

## REALIZAR LA PRUEBA DE HIPÓTESIS (PARA UNA MUESTRA) DENTRO DEL INTERVALO DE CONFIANZA GENERADO AL P% DE NIVEL DE CONFIANZA

t.test(ventas,mu=180) ###Por defecto, salvo que se cambie tal configuración, R realiza esta prueba a un nivel de confianza de 0.95.

### Realizando manualmente el cálculo anterior:

(t2=(mean(ventas)-180)/ee) ###Aquí se calcula el valor t por separado (puesto que la sintaxis “t.test” lo estima por defecto, como puede verificarse en la consola tras correr el código). Se denota con “t2” porque anteriormente se había definido en la línea de código 106 t = qt(0.975,n-1) para la construcción manual de los intervalos de confianza.

2*(1-pt(t2,20)) ###Aquí se calcula manualmente el valor p. Se multiplica por dos para tener la probabilidad acumulada total (considerando ambas colas) al valor t (t2, siendo más precisos) definido, pues esta es la definición de valor p. Esto se justifica por el hecho de la simetría geométrica de la distribución normal, la cual hace que la probabilidad acumulada (dentro de un intervalo de igual longitud) a un lado de la media sea igual a la acumulada (bajo la condición especificada antes) a la derecha de la media.

2*(pt(-t2,20)) ###Si el signo resultante de t fuese negativo. Además, 20 es debido a n-1 = 21-1 = 20.

###La sintaxis “pt” calcula el valor de la función de densidad acumulada (cdf) de la distribución t de Student dada una determinada variable aleatoria x y grados de libertad df (degrees of freedom, equivalente a gl en español), véase https://www.statology.org/working-with-the-student-t-distribution-in-r-dt-qt-pt-rt/

## CREAR UNA VARIABLE QUE PERMITA SEPARAR ESPACIALMENTE (AL INTERIOR DE LA GRÁFICA QUE LOS REPRESENTA) AQUELLOS ipc MENORES A UN VALOR h (h=117) DE AQUELLOS QUE SON IGUALES O MAYORES QUE h (h=117)

(ipc1 = 1*(ipc<17)+2*(ipc>=17))

ipc2=factor(ipc1,levels=c(1,2),labels=c(“uno”,”dos”))

plot(ipc2,ipc)

abline(h=17,col=2)

## GENERAR GRÁFICO DE DIAMENTE CON LOS INTERVALOS DE CONFIANZA AL 0.95 DE NdC CENTRADOS EN LAS MEDIAS DE CADA GRUPO CREADO ALREDEDOR DE 17 Y UN BOX-PLOT

library(gplots)

plotmeans(ventas~ipc2) ###Intervalos del 95% alrededor de la media (GRÁFICO DE DIMANTES)

boxplot(ventas~ipc2)

## REALIZAR LA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE QUE LA MEDIA ES LA MISMA PARA LOS DOS GRUPOS GENERADOS ALREDEDOR DE h=17

(med = tapply(ventas,ipc1,mean))

(dev = tapply(ventas,ipc1,sd))

(var = tapply(ventas,ipc1,var))

(n   = table(ipc1))

dif=med[1]-med[2]

###La sintaxis “tapply” aplica una función a cada celda de una matriz irregular (una matriz es irregular si la cantidad de elementos de cada fila varía), es decir, a cada grupo (no vacío) de valores dados por una combinación única de los niveles de ciertos factores.

### PRUEBA DE HIPÓTESIS EN ESCENARIO 1: ASUMIENDO VARIANZAS IGUALES (SUPUESTO QUE EN ESCENARIOS REALES DEBERÁ VERIFICARSE CON ANTELACIÓN)

varpond= ((n[1]-1)*var[1] + (n[2]-1)*var[2])/(n[1]+n[2]-2) ###Aquí se usa una varianza muestral ponderada como medida más precisa (dado que el tamaño de los grupos difiere) de una varianza muestral común entre los dos grupos construidos alrededor de h=17

e.e=sqrt((varpond/n[1])+(varpond/n[2]))

dif/e.e

t.test(ventas~ipc1,var.equal=T)

t.test(ventas~ipc1)  #Por defecto la sintaxis “t.test” considera las varianzas iguales, por lo que en un escenario de diferentes varianzas deberá ajustarse esto como se muestra a continuación.

### PRUEBA DE HIPÓTESIS EN ESCENARIO 2: ASUMIENDO VARIANZAS DESIGUALES (AL IGUAL QUE ANTES, ESTO DEBE VERIFICARSE)

e.e2=sqrt((var[1]/n[1])+(var[2]/n[2]))

dif/e.e2

a=((var[1]/n[1]) + (var[2]/n[2]))^2

b=(((var[1]/n[1])^2)/(n[1]-1)) +(((var[2]/n[2])^2)/(n[2]-1))

(glmod=a/b)

t.test(ventas~ipc1,var.equal=F)

###Para aceptar o rechazar la hipótesis nula el intervalo debe contener al cero (porque la Ho afirma que la verdadera diferencia en las medias -i.e., su significancia estadística- es nula).

###Conceptualmente hablando, una diferencia estadísticamente significativa expresa una variación significativa en el patrón geométrico que describe al conjunto de datos. Véase https://marxianstatistics.com/2021/08/27/modelos-lineales-generalizados/. Lo que define si una determinada variación es significativa o no está condicionado por el contexto en que se realiza la investigación y la naturaleza misma del fenómeno estudiado.

## REALIZAR PRUEBA F PARA COMPARAR LA VARIANZA DE LOS GRUPOS Y LA PROBABILIDAD ASOCIADA

(razon.2 = var[1]/var[2]) ###Ratio de varianzas (asumiendo que las varianzas poblacionales son equivalentes a la unidad, en otro caso su estimación sería matemáticamente diferente; véase https://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/mph-modules/bs/bs704_power/bs704_power_print.html y https://stattrek.com/online-calculator/f-distribution.aspx).

pf(razon.2,n[1]-1,n[2]-1) ###Al igual que “pt” (para el caso de la t de Student que compara medias de dos grupos o muestras), “pf” en el contexto de la prueba F (que compara la varianza de dos grupos o muestras) calcula la probabilidad acumulada que existe hasta determinado valor.

###La forma general mínima (más sintética) de la sintaxis “pf” es “pf(x, df1, df2)”, en donde “x” es el vector numérico (en este caso, de un elemento), df1 son los gl del numerador y df2 son los grados de libertad del denominador de la distribución F (cuya forma matemática puede verificarse en la documentación de R; véase https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Fdist.html).

(2*pf(razon.2,n[1]-1,n[2]-1)) ###Aquí se calcula el valor p manualmente.

###Realizando de forma automatizada el procedimiento anterior:

var.test(ventas~ipc1)

detach(estudios)

###Para aceptar o rechazar la hipótesis nula el intervalo debe contener al 1 porque la Ho afirma que la varianza de ambas muestras es igual (lo que implica que su cociente o razón debe ser 1), lo que equivale a afirmar que la diferencia real entre desviaciones (la significancia estadística de esta diferencia) es nula.

## EN EL ESCENARIO DEL ANÁLISIS DE MUESTRAS PAREADAS, ANALIZAR LOS DATOS SOBRE EL EFECTO DE DOS DROGAS EN LAS HORAS DE SUEÑO DE UN GRUPO DE PACIENTES (CONTENIDOS EN EL ARCHIVO “sleep” DE R)

attach(sleep) ###”sleep” es un archivo de datos nativo de R, por ello puede “llamarse” sin especificaciones de algún tipo.

plot(extra ~ group)

plotmeans(extra ~ group,connect=F)  ###Intervalos del 95% alrededor de la media. El primer insumo (entrada) de la aplicación “plotmeans” es cualquier expresión simbólica que especifique la variable dependiente o de respuesta (continuo) y la variable independiente o de agrupación (factor). En el contexto de una función lineal, como la función “lm()” que es empleada por “plotmeans” para graficar (véase la documentación de R sobre “plotmeans”), sirve para separar la variable dependiente de la o las variables independientes, las cuales en este caso de aplicación son los factores o variables de agrupación (puesto que se está en el contexto de casos clínicos y, en este contexto, las variables independientes son las variables que sirven de criterio para determinar la forma de agrupación interna del conjunto de datos; este conjunto de datos contiene las observaciones relativas al efecto de dos drogas diferentes sobre las horas de sueño del conjunto de pacientes-).

A = sleep[sleep$group == 1,] ###El símbolo “$” sirve para acceder a una variable (columna) de la matriz de datos, en este caso la número 1 (por ello el “1”).

B = sleep[sleep$group == 2,]

plot(1:10,A$extra,type=”l”,col=”red”,ylim=c(-2,7),main=”Gráfico 1

Horas de sueño entre pacientes con el tratamiento A y B”,ylab=”Horas”,xlab=”Numero de paciente”,cex.main=0.8)

lines(B$extra,col=”blue”)

legend(1,6,legend=c(“A”,”B”),col=c(“red”,”blue”),lwd=1,box.col=”black”,cex=1)

t.test(A$extra,B$extra)

t.test(A$extra,B$extra,paired=T)

t.test(A$extra-B$extra,mu=0)

###Una variable de agrupación (también llamada variable de codificación, variable de grupo o simplemente variable) clasifica las observaciones dentro de los archivos de datos en categorías o grupos. Le dice al sistema informático (sea cual fuere) cómo el usuario ha clasificado los datos en grupos. Las variables de agrupación pueden ser categóricas, binarias o numéricas.

###Cuando se desea realizar un comando dentro del texto (en un contexto de formato Rmd) se utiliza así,por ejemplo se podría decir que la media del sueño extra es `r mean(sleep$extra)` y la cantidad de datos son `r length(sleep$extra)`

## ESTIMACIÓN DE LA POTENCIA DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS (PROBABILIDAD BETA DE COMETER ERROR TIPO II)

library(pwr) ###”pwr” es una base de datos nativa de R

delta=3 ###Nivel de Resolución de la prueba. Para un valor beta (probabilidad de cometer error tipo II) establecido el nivel de resolución es la distancia mínima que se desea que la prueba sea capaz de detectar, es decir, que si existe una distancia entre los promedios tal que la prueba muy probablemente rechace la hipótesis nula Ho. Para el cálculo manual de la probabilidad beta véase el complemento de este documento (FUNDAMENTOS GENERALES DEL PROCESO DE ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPÓTESIS EN R STUDIO. PARTE I, TEORÍA ESTADÍSTICA)

s=10.2 ###Desviación estándar muestral

(d=delta/s) #Tamano del efecto.

pwr.t.test(n=NULL,d=d,power =0.9,type=”one.sample”)

## ESTIMAR CON EL VALOR ÓPTIMO PARA EL NIVEL DE RESOLUCIÓN, PARTIENDO DE n=40 Y MANTENIENDO LA POTENCIA DE 0.9

(potencia=pwr.t.test(n=40,d=NULL,power =0.9,type=”one.sample”))

potencia$d*s  #Delta

## GRAFICAR LAS DIFERENTES COMBINACIONES DE TAMAÑO DE MUESTRA Y NIVEL DE RESOLUCIÓN PARA UNA POTENCIA DE LA PRUEBA FIJA

s=10.2

deltas=seq(2,6,length=30)

n=numeric(30)

for(i in 1:30) {

  (d[i]=deltas[i]/s)

  w=pwr.t.test(n=NULL,d=d[i],power =0.9,type=”one.sample”)

  n[i]=w$n

}

plot(deltas,n,type=”l”)

## SUPÓNGASE QUE SE QUIERE PROBAR SI DOS GRUPOS PRESENTAN DIFERENCIAS ESTADÍSTICAMENTE SIGNIFICATIVAS EN LOS NIVELES PROMEDIO DE AMILASA, PARA LO CUAL SE CONSIDERA IMPORTANTE DETECTAR DIFERENCIAS DE 15 UNIDADES/ML O MÁS ENTRE LOS PROMEDIOS

s2p=290.9  ###Varianza ponderada de los dos grupos

(sp=sqrt(s2p)) ###Desviación estándar ponderada de los dos grupos

delta=15

(d=delta/sp)

pwr.t.test(n=NULL,d=d,power =0.9,type=”two.sample”)

MODELOS LINEALES GENERALIZADOS

isadore nabi

RESUMEN DEL FUNCIONAMIENTO DEL ALGORITMO IRLS

Fuente: https://www.semanticscholar.org/paper/Iterative-and-recursive-least-squares-estimation-Hu/1d19140f9aed669127df0302cdf16a8f3ec04c26

IV. Referencias

Allen, M. (2017). The SAGE Encyclopedia of COMMUNICATION RESEARCH METHODS. London: SAGE Publications, Inc.

AMERICAN PSYCHOLOGICAL ASSOCIATION. (15 de Julio de 2021). level. Obtenido de APA Dictionary of Pyschology: https://dictionary.apa.org/level

AMERICAN PYSCHOLOGICAL ASSOCIATION. (15 de Julio de 2021). factor. Obtenido de APA Dictionary of Pyschology: https://dictionary.apa.org/factor

AMERICAN PYSCHOLOGY ASSOCIATION. (15 de Julio de 2021). logistic regression (LR). Obtenido de APA Dictionary of Pyschology: https://dictionary.apa.org/logistic-regression

Bhuptani, R. (13 de Julio de 2020). Quora. Obtenido de What is the difference between linear regression and least squares?: https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-linear-regression-and-least-squares

Burrus, C. S. (7 de Julio de 2021). Iterative Reweighted Least Squares. Obtenido de https://cnx.org/exports/[email protected]/iterative-reweighted-least-squares-12.pdf

Centro Centroamericano de Población. (28 de Abril de 2021). Variables y escalas de medición. Obtenido de Universidad de Costa Rica: https://ccp.ucr.ac.cr/cursos/epidistancia/contenido/2_escmed.html

Greene, W. (2012). Econometric Analysis (Séptima ed.). Harlow, Essex, England: Pearson Education Limited.

Gujarati, D., & Porter, D. (8 de Julio de 2010). Econometría (Quinta ed.). México, D.F.: McGrawHill Educación. Obtenido de Homocedasticidad.

Haskett, D. R. (10 de Octubre de 2014). “Mitochondrial DNA and Human Evolution” (1987), by “Mitochondrial DNA and Human Evolution” (1987), by Rebecca Louise Cann, Mark Stoneking, and Allan Charles Wilson. Obtenido de The Embryo Project Encyclopedia: https://embryo.asu.edu/pages/mitochondrial-dna-and-human-evolution-1987-rebecca-louise-cann-mark-stoneking-and-allan

Kolmogórov, A. N., & Fomin, S. V. (1978). Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional (Tercera ed.). (q. e.-m. Traducido del ruso por Carlos Vega, Trad.) Moscú: MIR.

Lipschutz, S. (1992). Álgebra Lineal. Madrid: McGraw-Hill.

McCullagh, P., & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models (Segunda ed.). London: Chapman and Hall.

Nelder, J. A., & Wedderburn, R. W. (1972). Generalized Linear Models. Journal of the Royal Statistical Society, 135(3), 370-384.

Online Stat Book. (15 de Julio de 2021). Levels of an Independent Variable. Obtenido de Independent and dependent variables: https://onlinestatbook.com/2/introduction/variables.html

Patil, G. P., & Shorrock, R. (1965). On Certain Properties of the Exponential-type Families. Journal of the Royal Statistical, 27(1), 94-99.

Perry, J. (2 de Abril de 2014). NORM TO/FROM METRIC. Obtenido de The University of Southern Mississippi: https://www.math.usm.edu/perry/old_classes/mat681sp14/norm_and_metric.pdf

Ritchey, F. (2002). ESTADÍSTICA PARA LAS CIENCIAS SOCIALES. El potencial de la imaginación estadística. México, D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

StackExchange Cross Validated. (2 de Febrero de 2017). “Least Squares” and “Linear Regression”, are they synonyms? Obtenido de What is the difference between least squares and linear regression? Is it the same thing?: https://stats.stackexchange.com/questions/259525/least-squares-and-linear-regression-are-they-synonyms

TalkStats. (29 de Noviembre de 2011). SPSS. Obtenido de Forums: http://www.talkstats.com/threads/what-is-the-difference-between-a-factor-and-a-covariate-for-multinomial-logistic-reg.21864/

van den Berg, R. G. (15 de Julio de 2021). Measurement Levels – What and Why? Obtenido de SPSS Tutorials: https://www.spss-tutorials.com/measurement-levels/

Wikipedia. (21 de Mayo de 2021). Iterative proportional fitting. Obtenido de Statistical algorithms: https://en.wikipedia.org/wiki/Iterative_proportional_fitting

Wikipedia. (25 de Febrero de 2021). Iteratively reweighted least squares. Obtenido de Least squares: https://en.wikipedia.org/wiki/Iteratively_reweighted_least_squares

Wikipedia. (8 de Julio de 2021). Lp space. Obtenido de Measure theory: https://www.wikiwand.com/en/Lp_space

SOBRE LOS ISOMORFISMO DE GRAFO

ISADORE NABI

En teoría de grafos, se define como grafo al par G=(V,E), en donde V es el conjunto de aquellos elementos que son vértices y E es el conjunto de pares de vértices cuyos elementos se denominan aristas. A continuación, se presenta un ejemplo simple de grafo con tres vértices (círculos azules) y tres aristas (líneas rectas negras), específicamente un triángulo rectángulo visto como grafo.

Fuente: (Wikimedia, 2021).

Un isomorfismo entre dos grafos G1 y G2 es una relación funcional biyectiva (i.e., que establece una relación uno-a-uno entre los elementos de dos conjuntos) entre los vértices de G1 y G2, que adopta la forma f: V(G1)–>V(G2), en la que cualesquiera dos vértices u, v ∈ G1 son adyacentes (relación entre dos vértices en la que ambos son extremos de la misma arista) si y solo si sus reflejos o imágenes matemáticas f(u) y f(v) son adyacentes en G2. La característica fundamental de un isomorfismo de grafo es que es una relación funcional biyectiva que preserva las aristas que caracterizan al grafo. Que esta transformación matemática preserve las aristas implica que las distancias entre los vértices, analizados estos “de dos en dos”, no cambian.

Son precisamente estas distancias a las que se les conoce como distancias relativas dentro de la estructura matemática, en contraste con las distancias absolutas que son medidas como distancias de los vértices considerados individualmente. Un ejemplo de ello se muestra a continuación.

Fuente: (Jose, 2020).

Los dos grafos anteriores son isomórficos entre sí, i.e., poseen la misma estructura interna o estructura topológica. A continuación, se presenta un ejemplo numérico de ello, en consonancia con lo anteriormente expuesto.

Fuente: (Wikipedia, 2021).

Las diferencias concretas entre las distancias topológicas y las distancias métricas pueden observarse con nitidez en lo relativo al desarrollo teórico y aplicado de modelos que explican el comportamiento colectivo de animales, como lo son bandadas de aves, bancos de peces, etc. Esto es un equivalente concreto a nivel biológico del concepto matemático abstracto de la manera en que se agrupan en subconjuntos los elementos de un determinado conjunto).

Como señala el Instituto de Sistemas Complejos de Italia (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021), todos los modelos existentes sobre el comportamiento colectivo de los animales asumen que la interacción entre los diferentes individuos depende de la distancia métrica, al igual que en la Física. Esto implica, por ejemplo, que dos pájaros separados por 5 metros interactúan con más fuerza que dos pájaros separados por 10 metros. Como se señala en la fuente citada, los modelos desarrollados por biólogos se basan en un esquema de “zonas de comportamiento”, donde cada zona está asociada a uno de los tres componentes básicos de todos los modelos: repulsión de corto alcance, alineación, atracción de largo alcance. Los modelos desarrollados por físicos, por otro lado, usaban principalmente una función de fuerza única. Sin embargo, los dos enfoques son sustancialmente equivalentes y lo que importa es que ambos se basan en un paradigma métrico.

El punto crucial es que, dentro del paradigma métrico, el número de vecinos con los que interactúa cada individuo no es una constante, sino que depende de la densidad. Por ejemplo, supóngase que cada ave interactúa con todos los vecinos dentro de un rango de 5 metros. El número de vecinos dentro de los 5 metros será grande en una bandada densa y pequeña en una bandada escasa. Entonces, dentro del paradigma métrico, el número de vecinos que interactúan no es una constante, sino que depende de la densidad. Lo que es constante es el rango métrico de la interacción (5 metros en el ejemplo anterior).

El paradigma métrico parece muy razonable a primera vista. Los animales son buenos para evaluar distancias, por lo que tiene sentido asumir que la fuerza de sus lazos mutuos depende de la distancia. Además, los modelos métricos demostraron ser capaces de reproducir cualitativamente el comportamiento de las bandadas. Por lo tanto, no había razón para cuestionar el paradigma métrico, en ausencia de datos empíricos. Y dado que hasta el momento no se disponía de datos empíricos, todos los modelos utilizaron una interacción métrica.

Los primeros datos empíricos sobre grandes bandadas de estorninos fueron obtenidos por el nodo INFM-CNR dentro del proyecto STARFLAG (esto hace referencia a un proyecto sobre comportamiento colectivo de animales coordinado por el INFM-CNR, organismo que pertenece a la institución citada). Al reconstruir las posiciones en 3D de aves individuales, fue posible mapear la distribución promedio de los vecinos más cercanos (Figura 2), lo que proporciona la caracterización más clara de la estructura de las aves dentro de una bandada.

Así, “Dado un ave de referencia, medimos la orientación angular de su vecino más cercano con respecto a la dirección de movimiento de la bandada, es decir, el rumbo y la elevación del vecino. Repetimos esto tomando a todos los individuos dentro de una bandada como ave de referencia, y de esta manera mapeamos la posición espacial promedio de los vecinos más cercanos.” (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021). El fragmento de la cita bibliográfica anterior en negrita y cursiva es en esencia la lógica de tomar a los individuos “de dos en dos”, añadiendo a ello elementos que juegan un rol relevante en este contexto específico de aplicación de las nociones topológicas, como lo son el rumbo y la elevación; sin embargo, hay que decir que a nivel de teoría de grafos, también existen grafos cuyas aristas poseen dirección, los cuales por motivo de simplicidad no fueron expuestos, aunque no por ello deja de ser necesaria esta especificación.

Así, es posible pensar en este mapa como un mapa de la esfera alrededor de cada ave voladora. El centro del mapa es la dirección de avance, los polos son las direcciones hacia arriba y hacia abajo. El color en un punto dado del mapa indica la probabilidad de que el vecino más cercano del pájaro esté en esa dirección particular. Este mapa muestra una sorprendente falta de vecinos más cercanos a lo largo de la dirección del movimiento. Por tanto, la estructura de los individuos es fuertemente anisotrópica[1]. Esta anisotropía probablemente esté relacionada con el aparato visual de las aves. Sin embargo, el punto crucial es que esta anisotropía es el efecto de la interacción entre individuos, cualquiera que sea esta interacción.

Fuente: (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021).

Para respaldar esta afirmación, calculamos la distribución de vecinos muy alejados del ave de referencia, por ejemplo, para el décimo vecino más cercano (mapa inferior en la figura).

Fuente: (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021).

Esta distribución es uniforme, para garantizar una agregación de puntos completamente isótropa[2] y sin interacción, puesto que ello es una indicación empírica directa de afirmar que la interacción decae con la distancia: cuanto más separadas están dos aves, menor es su grado de correlación. Este resultado también demuestra que podemos usar la anisotropía para obtener información sobre la interacción. De hecho, se puede calcular el mapa de distribución angular[3] de los vecinos incluso para el segundo, tercer, cuarto vecino más cercano, etc., y observar cómo la estructura anisotrópica presente para los vecinos más cercanos se desvanece progresivamente a medida que aumenta el orden del vecino.

La desintegración de esta estructura anisotrópica con la distancia se puede cuantificar de forma precisa calculando el factor de anisotropía gamma[4].  Esta cantidad decae a su valor isotrópico (no interactivo) 1/3 a medida que aumenta el orden n-ésimo del vecino, de manera similar a una función de correlación estándar.

“Sin embargo, el punto crucial es que n es una distancia topológica, es decir, es una distancia medida en unidades de aves, en lugar de metros. A partir del factor de anisotropía podemos calcular el rango topológico, definido como el punto donde el factor de anisotropía se vuelve igual a su valor de no interacción. Este rango topológico es simplemente el número promedio de vecinos con los que interactúa cada ave. Claramente, dada la densidad de la bandada, también podemos definir una distancia métrica estándar y, por lo tanto, un rango métrico de la interacción. El rango métrico de interacción no es más que la distancia máxima de las aves dentro del rango topológico.” Fuente: (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021).

Así, el punto importante es que la densidad de las bandadas varía mucho de una bandada a otra, y esto implica que el rango topológico y métrico no puede ser constante cuando la densidad varía. Para dilucidar este punto crucial, considérese dos bandadas con diferentes densidades. Si la interacción depende de la distancia métrica, entonces el rango en metros es el mismo en las dos bandadas, mientras que el número de individuos dentro de este rango es grande en la bandada más densa y pequeño en la más dispersa.

Fuente: (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021).

Por el contrario, si la interacción depende de la distancia topológica, el rango en unidades de aves es constante en las dos bandadas, mientras que la distancia de estos n vecinos más cercanos es pequeña en la bandada más densa y grande en la más escasa.

La diferencia entre la hipótesis topológica y métrica es clara: en el escenario topológico, el número de individuos que interactúan es fijo. Por el contrario, en el escenario métrico, dicho número varía con la densidad; por ejemplo, dentro del mismo rango métrico puede haber 10 aves en una bandada muy densa y solo 1 ave en una muy escasa. Por lo tanto, los rangos topológicos y métricos no son caracterizaciones intercambiables de la interacción.

Por lo tanto, para comprender si lo que importa es la métrica o la distancia topológica, debemos medir cómo el rango métrico y topológico depende de la densidad de las bandadas. En promedio, para este caso de aplicación concreto se sostiene en la fuente citada que el rango topológico es igual a 6.5 aves. “Este resultado contrasta con la mayoría de los modelos y teorías de comportamiento animal colectivo actualmente en el mercado, que asumen un rango métrico de interacción.” Fuente: (Instituto dei Sistemi Complessi, 2021).

¿Por qué una interacción topológica y no métrica? El comportamiento colectivo de los animales se escenifica en un entorno natural convulso. Por tanto, el mecanismo de interacción formado por la evolución debe mantener la cohesión frente a fuertes perturbaciones, de las cuales la depredación es la más relevante. Creemos que la interacción topológica es el único mecanismo que otorga una cohesión tan robusta y, por lo tanto, una mayor aptitud biológica. Una interacción métrica es inadecuada para hacer frente a este problema: siempre que la distancia interindividual se hiciera mayor que el rango métrico, la interacción desaparecería, la cohesión se perdería y los rezagados se “evaporarían” de la agregación. Una interacción topológica, por el contrario, es muy robusta, ya que su fuerza es la misma a diferentes densidades. Al interactuar dentro de un número fijo de individuos, en lugar de metros, la agregación puede ser densa o escasa, cambiar de forma, fluctuar e incluso dividirse, pero manteniendo el mismo grado de cohesión. Por lo tanto, la interacción topológica es funcional para mantener la cohesión frente a las fuertes perturbaciones a las que está sujeta una bandada, típicamente depredación. Así, las distancias topológicas son aquellas distancias entre los elementos de un conjunto, o entre los componentes integrantes de un sistema dinámico, que se mantienen invariantes ante perturbaciones. Por ello, en línea con lo planteado en (Nabi, 2021) en el terreno de la biología molecular, las distancias topológicas denotan las propiedades características, i.e., la esencia, de los fenómenos naturales Lo que es más íntimo, más característico del comportamiento estudiado.

Finalmente, es necesario mencionar que existe evidencia de que el valor particular del rango topológico que encontramos (6.5) está relacionado con las capacidades cognitivas de las aves y, en particular, con sus habilidades pre numéricas[5].

REFERENCIAS

Instituto dei Sistemi Complessi. (27 de Febrero de 2021). Topolical vs Metric Distance. Obtenido de Biological Systems: https://www.isc.cnr.it/research/topics/physical-biology/biological-systems/topological-vs-metric-distance/

Jose, K. (27 de Junio de 2020). Graph Theory | Isomorphic Trees. Obtenido de Towards Data Science: https://towardsdatascience.com/graph-theory-isomorphic-trees-7d48aa577e46

Nabi, I. (14 de Marzo de 2021). HACIA UNA INTERPRETACIÓN DIALÉCTICA-MATERIALISTA DE LA TOPOLOGÍA GENERAL: GÉNESIS HISTÓRICA-TEÓRICA DE LA TOPOLOGÍA DESDE LA GEOMETRÍA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS. Obtenido de El Blog de Isadore Nabi: https://marxianstatistics.com/2021/03/14/hacia-una-interpretacion-dialectica-materialista-de-la-topologia-general-genesis-historica-teorica-de-la-topologia-desde-la-geometria-y-la-teoria-de-conjuntos/

Oilfield Glossary en Español. (2021). gamma (γ). Obtenido de Geofísica: https://glossary.oilfield.slb.com/es/terms/g/gamma

The SEG Wiki. (8 de Abril de 2021). Isotropía Transversal. Obtenido de Dictionary: https://wiki.seg.org/wiki/Dictionary:Transverse_isotropy/es

Wikimedia. (6 de Abril de 2021). Commons. Obtenido de Wikipedia: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/Undirected.svg

Wikipedia. (6 de Julio de 2021). Graph isomorphism. Obtenido de Morphism: https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_isomorphism


[1] La anisotropía es la propiedad general de la materia según la cual cualidades como elasticidad, temperatura, conductividad, velocidad de propagación de la luz, etc., varían según la dirección en que son examinadas.​ Un ente anisótropo puede presentar diferentes características según la dirección.

[2] La isotropía es la característica de algunos fenómenos en el espacio cuyas propiedades no dependen de la dirección en que son examinadas.

[3] La distribución angular de un conjunto de observaciones es la distribución de las direcciones hacia donde los electrones son emitidos dentro de un determinado sistema de coordenadas.

[4] Como se señala en (Oilfield Glossary en Español, 2021), el factor de anisotropía gamma es el parámetro de las ondas S para un medio en el cual las propiedades elásticas exhiben isotropía transversal vertical [implica propiedades elásticas que son las mismas en cualquier dirección perpendicular a un eje de simetría y tiene cinco constantes elásticas independientes, como se señala en (The SEG Wiki, 2021)]. Gamma (γ) es el parámetro de anisotropía de las ondas S y equivale a mitad de la razón de la diferencia entre las velocidades de las ondas SH que se propagan en sentido horizontal y vertical, al cuadrado, dividida por la velocidad de las ondas SH que se propagan verticalmente al cuadrado; una onda SH es una onda de corte polarizada horizontalmente.”

[5] Para el caso de los humanos, las habilidades pre numéricas son aquellas necesarias antes de aprender sobre los números, tales como comparar, clasificar, identificar, reunir, establecer relaciones uno a uno, seriar, etc.

MODELO LOGIT O REGRESIÓN LOGÍSTICA

ISADORE NABI

Como se señala en (Aldrich & Nelson, 1984, págs. 30-31), la inferencia estadística comienza por asumir que el modelo que se va a estimar y utilizar para hacer inferencias está correctamente especificado. La presunción, i.e., el supuesto de partida, es que la teoría estadística-matemática correspondiente a tal o cual modelo estadístico es la que justifica el uso del mismo. Sin embargo, a lo planteado por los autores hay que agregar que es aún más importante que las propiedades reales del fenómeno a estudiar (establecidas por el marco científico mediante el cual se estudia) deben corresponderse en una magnitud mínima necesaria y suficiente con las propiedades matemáticas de tal o cual modelo estadístico. Los autores señalan que es bastante fácil demostrar que la especificación incorrecta del modelo tiene implicaciones realmente sustanciales, ya que todas las propiedades estadísticas de las estimaciones pueden destruirse. Para decirlo sin rodeos, la especificación incorrecta del modelo conduce a respuestas incorrectas.

Los autores también elaboran una maravilla gnoseológica en su argumentación, relativa a la justificación del difundido uso del supuesto de linealidad, estableciendo una versión modificada de la navaja de Occam, una que no implica reduccionismo filosófico, como sí lo suele ser la que utilizan, por ejemplo, los bayesianos subjetivos en los modelos parsimoniosos (y fue en ese sentido en el que la criticó también Albert Einstein):

“¿Por qué es tan popular la especificación lineal? Hay dos razones básicas (y relacionadas). En la práctica, los modelos lineales son matemáticamente simples, por lo que los estadísticos han podido aprender mucho sobre ellos, y se han escrito programas de computadora para hacer la estimación. Sobre bases teóricas, la simplicidad conduce a su adopción, justificada por una versión de la navaja de Occam: en ausencia de una guía teórica en sentido contrario, comience asumiendo el caso más simple. Así, la Navaja de Occam, por implicación, diría: Con alguna orientación teórica en sentido contrario, no asuma el caso más simple.” (Aldrich & Nelson, 1984, pág. 31).

La investigación completa se facilita en el siguiente documento:

SOBRE LA CREACIÓN Y DESTRUCCIÓN DE VALOR EN LOS SISTEMAS DE ECONOMÍA POLÍTICA CAPITALISTA EN PARTICULAR Y EN LOS SISTEMAS ECONÓMICOS EN GENERAL

ISADORE NABI

REFERENCIAS

Alan. (25 de Julio de 2011). ENGLISH LENGUAGE & USAGE. Obtenido de Stack Exchange: https://english.stackexchange.com/questions/35508/difference-between-partly-and-partially#:~:text=Use%20partly%20when%20the%20%22in,it’s%20also%20%22partly%20closed%22.

Andrews, D. W. (1991). An Empirical Process Central Limit Theorem for Dependent Non-identically Distributed Random Variables . Journal of Multivariate Analysis, 187-203.

Berk, K. (1973). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR m-DEPENDENT RANDOM VARIABLES WITH UNBOUNDED m. The Annals of Probability, 1(2), 352-354.

Borisov, E. F., & Zhamin, V. A. (2009). Diccionario de Economía Política. (L. H. Juárez, Ed.) Nueva Guatemala de la Asunción, Guatemala, Guatemala: Tratados y Manuales Grijalbo.

Cockshott, P., & Cottrell, A. (2005). Robust correlations between prices and labor values. Cambridge Journal of Economics, 309-316.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Valle Baeza, A. (2014). The Empirics of the Labour Theory of Value: Reply to Nitzan and Bichler. Investigación Económica, 115-134.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Zachariah, D. (29 de Marzo de 2019). Against the Kliman theory. Recuperado el 22 de Marzo de 2021, de Paul Cockshott: http://paulcockshott.co.uk/publication-archive/Talks/politicaleconomy/Against%20the%20Kliman%20price%20theory.pdf

Dedecker, J., & Prieur, C. (2007). An empirical central limit theorem for dependent sequences. Stochastic Processes and their Applications, 117, 121-142.

Díaz, E., & Osuna, R. (2007). Indeterminacy in price–value correlation measures. Empirical Economics, 389-399.

Emmanuel, A. (1972). El Intercambio Desigual. Ensayo sobre los antagonismos en las relaciones económicas internacionales. México, D.F.: Sigloveintiuno editores, s.a.

Farjoun, E., & Marchover, M. (1983). Laws of Chaos. A Probabilistic Approach to Political Economy. Londres: Verso Editions and NLB.

fast.ai. (3 de Diciembre de 2017). How to calculate Weighted Mean Absolute Error (WMAE)? Obtenido de Forums: https://forums.fast.ai/t/how-to-calculate-weighted-mean-absolute-error-wmae/8575

Flaschel, P., & Semmler, W. (1985). The Dynamic Equalization of Profit Rates for Input-Output Models with Fixed Capital. En Varios, & W. Semmler (Ed.), Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 1-34). New York: Springer-Verlag.

Flores Morador, F. (2013). Marx and the Moral Depreciation of Technology: Labor Value as Information. Social Science Research Network Electronic Journal, 1-16. Obtenido de https://internt.ht.lu.se/media/documents/project-778/Marx_and_the_moral_depreciation_of_technology.pdf

Fröhlich, N. (2012). Labour values, prices of production and the missing equalisation tendency of profit rates: evidence from the German economy. Cambridge Journal of Economics, 37(5), 1107-1126.

Glick, M., & Ehrbar, H. (1988). Profit Rate Equalization in the U.S. and Europe: An Econometric Investigation. European Journal of Political Economy, 179-201.

Gloria-Palermo, S. (2010). Introducing Formalism in Economics: The Growth Model of John von Neumann. Panoeconomicus, 153-172.

Godwin, H., & Zaremba, S. (1961). A Central Limit Theorem for Partly Dependent Variables. The Annals of Mathematical Statistics, 32(3), 677-686.

Guerrero, D. (Octubre-diciembre de 1997). UN MARX IMPOSIBLE: EL MARXISMO SIN TEORÍA LABORAL DEL VALOR. 57(222), 105-143.

Investopedia. (23 de Agosto de 2020). The Difference Between Standard Deviation and Average Deviation. Obtenido de Advanced Technical Analysis Concepts : https://www.investopedia.com/ask/answers/021215/what-difference-between-standard-deviation-and-average-deviation.asp

Kliman, A. (2002). The law of value and laws of statistics: sectoral values and prices in the US economy, 1977-97. Cambridge Journal of Economics, 299-311.

Kliman, A. (2005). Reply to Cockshott and Cottrell. Cambridge Journal of Economics, 317-323.

Kliman, A. (2014). What is spurious correlation? A reply to Díaz and Osuna. Journal of Post Keynesian Economics, 21(2), 345-356.

KO, M.-H., RYU, D.-H., KIM, T.-S., & CHOI, Y.-K. (2007). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR GENERAL WEIGHTED SUMS OF LNQD RANDOM VARIABLES AND ITS APPLICATION. ROCKY MOUNTAIN JOURNAL OF MATHEMATICS, 37(1), 259-268.

Kuhn, T. (2011). La Estructura de las Revoluciones Científicas. México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Kuroki, R. (1985). The Equalizartion of the Rate of Profit Reconsidered. En W. Semmler, Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 35-50). New York: Springer-Velag.

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1994). Curso de Física Teórica. Mecánica (Segunda edición corregida ed.). (E. L. Vázquez, Trad.) Barcelona: Reverté, S.A.

Leontief, W. (1986). Input-Output Economics. Oxford, United States: Oxford University Press.

Levins, R. (Diciembre de 1993). A Response to Orzack and Sober: Formal Analysis and the Fluidity of Science. The Quarterly Review of Biology, 68(4), 547-55.

LI, X.-p. (2015). A Central Limit Theorem for m-dependent Random Variables under Sublinear Expectations. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 31(2), 435-444. doi:10.1007/s10255-015-0477-1

Marquetti, A., & Foley, D. (25 de Marzo de 2021). Extended Penn World Tables. Obtenido de Extended Penn World Tables: Economic Growth Data assembled from the Penn World Tables and other sources : https://sites.google.com/a/newschool.edu/duncan-foley-homepage/home/EPWT

Marx, K. H. (1989). Contribución a la Crítica de la Economía Política. (M. Kuznetsov, Trad.) Moscú: Editorial Progreso.

Marx, K. H. (2010). El Capital (Vol. I). México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Mindrila, D., & Balentyne, P. (2 de Febrero de 2021). Scatterplots and Correlation. Obtenido de University of West Georgia: https://www.westga.edu/academics/research/vrc/assets/docs/scatterplots_and_correlation_notes.pdf

Mora Osejo, L. (1 de Enero de 1992). Reseñas y Comentarios. John von Neumann and Modern Economics. Goodwin, Dore, Chakavarty. Cuadernos de Economía, 12(17), 215-221. Obtenido de https://revistas.unal.edu.co/index.php/ceconomia/article/view/19349/20301

Moseley, F. (2015). Money and Totality. Leiden, South Holland, Netherlands: BRILL.

Nabi, I. (2020). SOBRE LA LEY DE LA TENDENCIA DECRECIENTE DE LA TASA MEDIA DE GANANCIA. Raíces Unitarias y No Estacionariedad de las Series de Tiempo. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.files.wordpress.com/2020/12/analisis-del-uso-de-la-prueba-de-hipotesis-en-el-contexto-de-la-especificacion-optima-de-un-modelo-de-regresion-isadore-nabi-2.pdf

Nabi, I. (2021). Lecciones de Gnoseología Marxiana I. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.com/2021/04/09/lecciones-de-gnoseologia-marxiana-i-lessons-of-marxian-gnoseology-i/

NABI, I. (1 de Abril de 2021). SOBRE LA METODOLOGÍA DEL U.S. BUREAU OF ECONOMIC ANALYSIS PARA LA REDEFINICIÓN Y REASIGNACIÓN DE PRODUCTOS EN LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DE ESTADOS UNIDOS. Obtenido de ECONOMÍA POLÍTICA: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/sobre-la-metodologia-del-u-s-bureau-of-economic-analysis-para-la-redefinicion-y-reasignacion-de-productos-en-la-matriz-insumo-producto-de-estados-unidos/

NABI, I., & B.A., A. (1 de Abril de 2021). UNA METODOLOGÍA EMPÍRICA PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD DE LAS INTERRELACIONES SECTORIALES DENTRO DE LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DESDE LOS CUADROS DE PRODUCCIÓN Y USOS PARA EL CASO DE ESTADOS UNIDOS 1997-2019. Obtenido de EL BLOG DE ISADORE NABI: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/una-metodologia-empirica-para-la-determinacion-de-la-magnitud-de-las-interrelaciones-sectoriales-dentro-de-la-matriz-insumo-producto-desde-los-cuadros-de-oferta-utilizacion-para-el-caso-de-estados-uni/

OECD. (25 de Septiembre de 2005). SCRAPPING. Obtenido de GLOSSARY OF STATISTICAL TERMS: https://stats.oecd.org/glossary/detail.asp?ID=2395

Parzen, E. (1957). A Central Limit Theorem for Multilinear Stochastic Processes. The Annals of Mathematical Statistics, 28(1), 252-256.

Pasinetti, L. (1984). Lecciones Sobre Teoría de la Producción. (L. Tormo, Trad.) México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Real Academia Española. (18 de 03 de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición del Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/transitar?m=form

Real Academia Española. (23 de Marzo de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/ecualizar?m=form

Rosental, M. M., & Iudin, P. F. (1971). DICCIONARIO FILOSÓFICO. San Salvador: Tecolut.

Rosental, M., & Iudin, P. (1971). Diccionario Filosófico. San Salvador: Tecolut.

Sánchez, C. (Diciembre de 2013). Inconsistencia de la teoría neoclásica: aplicación del análisis dimensional a la economía. ECONOMÍA HOY, 4-6. Obtenido de https://www.uca.edu.sv/economia/wp-content/uploads/012-ECONOMIA-HOY-A-DIC2013.pdf

Sánchez, C., & Ferràndez, M. N. (Octubre-diciembre de 2010). Valores, precios de producción y precios de mercado a partir de los datos de la economía española. Investigación Económica, 87-118. Obtenido de https://www.jstor.org/stable/42779601?seq=1

Sánchez, C., & Montibeler, E. E. (2015). La teoría del valor trabajo y los precios en China. Economia e Sociedade, 329-354.

StackExchange. (12 de Enero de 2014). Mean absolute deviation vs. standard deviation. Obtenido de Cross Validated: https://stats.stackexchange.com/questions/81986/mean-absolute-deviation-vs-standard-deviation

Steedman, I., & Tomkins, J. (1998). On measuring the deviation of prices from values. Cambridge Journal of Economics, 379-385.

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Supply Tables – Domestic supply of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=3&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Make Tables/After Redefinitions – Production of commodities by industry after redefinition of secondary production ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=5&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Use Tables – Use of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=4&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Use Tables/After Redefinitions/Producer Value – Use of commodities by industry after reallocation of inputs ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=6&aggregation=sum

Valle Baeza, A. (1978). Valor y Precios de Producción. Investigación Económica, 169-203.

Walras, L. (1954). Elements of Pure Economics or The Theory of Social Wealth. (W. Jaffé, Trad.) Homewood, Ilinois, Estados Unidos: Richard D. Irwin, Inc.

Wikipedia. (25 de Enero de 2021). Trabajo (física). Obtenido de Magnitudes termodinámicas: https://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)

Wikipedia. (17 de Marzo de 2021). Work (physics). Obtenido de Energy (physics): https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)

Wooldridge, J. M. (2010). Introducción a la Econometría. Un Enfoque Moderno (Cuarta ed.). México, D.F.: Cengage Learning.

Zachariah, D. (Junio de 2006). Labour value and equalisation of profit rates: a multi-country study. Indian Development Review, 4, 1-20.

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