INTRODUCCIÓN A LOS ENSAYOS CLÍNICOS DESDE LA TEORÍA ESTADÍSTICA Y RSTUDIO: ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN DE PEARSON, SPEARMAN Y KENDALL

isadore NABI

### DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

###ORÍGENES HISTÓRICOS Y GENERALIDADES: https://marxianstatistics.com/2021/09/10/generalidades-sobre-la-prueba-chi-cuadrado/

###En su forma general, la distribución Chi-Cuadrado es una suma de los cuadrados de variables aleatorias N(media=0, varianza=1), véase https://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredDistribution.html.

###Se utiliza para describir la distribución de una suma de variables aleatorias al cuadrado. También se utiliza para probar la bondad de ajuste de una distribución de datos, si las series de datos son independientes y para estimar las confianzas que rodean la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria de una distribución normal.

### COEFICIENTES DE CORRELACIÓN

###Coeficiente de Correlación de Pearson (prueba paramétrica): https://statistics.laerd.com/statistical-guides/pearson-correlation-coefficient-statistical-guide.php, https://www.wikiwand.com/en/Pearson_correlation_coefficient.

###Coeficiente de Correlación de Spearman (prueba no-paramétrica): https://statistics.laerd.com/statistical-guides/spearmans-rank-order-correlation-statistical-guide.php, https://www.wikiwand.com/en/Spearman%27s_rank_correlation_coefficient, https://www.statstutor.ac.uk/resources/uploaded/spearmans.pdf.

###Coeficiente de Correlación de Kendall (prueba no-paramétrica): https://www.statisticshowto.com/kendalls-tau/, https://towardsdatascience.com/kendall-rank-correlation-explained-dee01d99c535, https://personal.utdallas.edu/~herve/Abdi-KendallCorrelation2007-pretty.pdf, https://www.wikiwand.com/en/Kendall_rank_correlation_coefficient.

####Como se verifica en su forma más general [véase Jeremy M. G. Taylor, Kendall’s and Spearman’s Correlation Coefficient in the Presence of a Blocking Variable, (Biometrics, Vol. 43, No. 2 (Jun., 1987), pp.409-416), p. 409], en presencia de “empates”, conocidos también como “observaciones vinculadas” (del inglés “ties”, que, como se verifica en http://www.statistics4u.com/fundstat_eng/dd_ties.html, significa en el contexto de las estadísticas de clasificación de orden -rank order statistics- la existencia de dos o más observaciones que tienen el mismo valor, por lo que imposibilita la asignación de números de rango únicos), es preferible utilizar el coeficiente de correlación de Spearman rho porque su varianza posee una forma más simple (relacionado con el costo computacional, puesto que la investigación de Jeremy Taylor emplea como herramienta de estadística experimental la metodología Monte Carlo, lo que puede verificarse en https://pdodds.w3.uvm.edu/files/papers/others/1987/taylor1987a.pdf).

### RIESGO RELATIVO

####Como se verifica en https://www.wikiwand.com/en/Odds_ratio, el riesgo relativo (diferente a la razón éxito/fracaso y a la razón de momios) es la proporción de éxito de un evento (o de fracaso) en términos del total de ocurrencias (éxitos más fracasos).

### RAZÓN ÉXITO/FRACASO

####Es el cociente entre el número de veces que ocurre un evento y el número de veces en que no ocurre.

####INTERPRETACIÓN: Para interpretar la razón de ataque/no ataque de forma más intuitiva se debe multiplicar dicha razón Ψ (psi) por el número de decenas necesarias Ξ (Xi) para que la razón tenga un dígito d^*∈N a la izquierda del “punto decimal” (en este caso de aplicación hipotético Ξ=1000), resultando así un escalar real υ=Ψ*Ξ (donde υ es la letra griega ípsilon) con parte entera que se interpreta como “Por cada Ξ elementos de la población de referencia bajo la condición especificada (en este caso, que tomó aspirina o que tomó un placebo) estará presente la característica (u ocurrirá el evento, según sea el caso) en (d^*+h) ocasiones, en donde h es el infinitesimal a la derecha del punto decimal (llamado así porque separa no sólo los enteros de los infinitesimales, sino que a su derecha se encuentra la casilla correspondiente justamente a algún número decimal).

### RAZÓN DE MOMIOS

####DEFÍNICIÓN: Es una medida utilizada en estudios epidemiológicos transversales y de casos y controles, así como en los metaanálisis. En términos formales, se define como la posibilidad que una condición de salud o enfermedad se presente en un grupo de población frente al riesgo que ocurra en otro. En epidemiología, la comparación suele realizarse entre grupos humanos que presentan condiciones de vida similares, con la diferencia que uno se encuentra expuesto a un factor de riesgo (mi) mientras que el otro carece de esta característica (mo). Por lo tanto, la razón de momios o de posibilidades es una medida de tamaño de efecto.

####Nótese que es un concepto, evidentemente, de naturaleza frecuentista.

####La razón de momios es el cociente entre las razones de ocurrencia/no-ocurrencia de los tratamientos experimentales estudiados (una razón por cada uno de los dos tratamientos experimentales sujetos de comparación).

### TAMAÑO DEL EFECTO

####Defínase tamaño del efecto como cualquier medida realizada sobre algún conjunto de características (que puede ser de un elemento) relativas a cualquier fenómeno, que es utilizada para abordar una pregunta de interés, según (Kelly y Preacher 2012, 140). Tal y como ellos señalan, la definición es más que una combinación de “efecto” y “tamaño” porque depende explícitamente de la pregunta de investigación que se aborde. Ello significa que lo que separa a un tamaño de efecto de un estadístico de prueba (o estimador) es la orientación de su uso, si responde una pregunta de investigación en específico entonces el estadístico (o parámetro) se convierte en un “tamaño de efecto” y si sólo es parte de un proceso global de predicción entonces es un estadístico (o parámetro) a secas, i.e., su distinción o, expresado en otros términos, la identificación de cuándo un estadístico (o parámetro) se convierte en un tamaño de efecto, es una cuestión puramente epistemológica, no matemática. Lo anterior simplemente implica que, dependiendo del tipo de pregunta que se desee responder el investigador, un estadístico (o parámetro) será un tamaño de efecto o simplemente un estadístico (o parámetro) sin más.

setwd(“C:/Users/User/Desktop/Carpeta de Estudio/Maestría Profesional en Estadística/Semestre II-2021/Métodos, Regresión y Diseño de Experimentos/2/Laboratorios/Laboratorio 2”)

## ESTIMAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON ENTRE TEMPERATURA Y PORCENTAJE DE CONVERSIÓN

###CÁLCULO MANUAL DE LA COVARIANZA

prom.temp = mean(temperatura)

prom.conversion = mean(porcentaje.conversion)

sd.temp = sd(temperatura)

sd.conversion = sd(porcentaje.conversion)

n = nrow(vinilacion)

covarianza = sum((temperatura-prom.temp)*(porcentaje.conversion-prom.conversion))/(n-1)

covarianza

###La covarianza es una medida para indicar el grado en el que dos variables aleatorias cambian en conjunto (véase https://www.mygreatlearning.com/blog/covariance-vs-correlation/#differencebetweencorrelationandcovariance).

###CÁLCULO DE LA COVARIANZA DE FORMA AUTOMATIZADA

cov(temperatura,porcentaje.conversion)

###CÁLCULO MANUAL DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

###Véase https://www.wikiwand.com/en/Pearson_correlation_coefficient (9 de septiembre de 2021).

coef.correlacion = covarianza/(sd.temp*sd.conversion)

coef.correlacion

###CÁLCULO AUTOMATIZADO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

cor(temperatura,porcentaje.conversion) ###Salvo que se especifique lo contrario (como puede verificarse en la librería de R), el coeficiente de correlación calculado por defecto será el de Pearson, sin embargo, se puede calcular también el coeficiente de Kendall (escribiendo “kendall” en la casilla “method” de la sintaxis “cor”) o el de Spearman (escribiendo “spearman” en la casilla “method” de la sintaxis “cor”).

cor(presion,porcentaje.conversion)

###VÍNCULO, SIMILITUDES Y DIFERENCIAS ENTRE CORRELACIÓN Y COVARIANZA

###El coeficiente de correlación está íntimamente vinculado con la covarianza. La covarianza es una medida de correlación y el coeficiente de correlación es también una forma de medir la correlación (que difiere según sea de Pearson, Kendall o Spearman).

###La covarianza indica la dirección de la relación lineal entre variables, mientras que el coeficiente de correlación mide no sólo la dirección sino además la fuerza de esa relación lineal entre variables.

###La covarianza puede ir de menos infinito a más infinito, mientras que el coeficiente de correlación oscila entre -1 y 1.

###La covarianza se ve afectada por los cambios de escala: si todos los valores de una variable se multiplican por una constante y todos los valores de otra variable se multiplican por una constante similar o diferente, entonces se cambia la covarianza. La correlación no se ve influenciada por el cambio de escala.

###La covarianza asume las unidades del producto de las unidades de las dos variables. La correlación es adimensional, es decir, es una medida libre de unidades de la relación entre variables.

###La covarianza de dos variables dependientes mide cuánto en cantidad real (es decir, cm, kg, litros) en promedio covarían. La correlación de dos variables dependientes mide la proporción de cuánto varían en promedio estas variables entre sí.

###La covarianza es cero en el caso de variables independientes (si una variable se mueve y la otra no) porque entonces las variables no necesariamente se mueven juntas (por el supuesto de ortogonalidad entre los vectores, que expresa geométricamente su independencia lineal). Los movimientos independientes no contribuyen a la correlación total. Por tanto, las variables completamente independientes tienen una correlación cero.

## CREAR UNA MATRIZ DE CORRELACIONES DE PEARSON Y DE SPEARMAN

####La vinilación de los glucósidos se presenta cuando se les agrega acetileno a alta presión y alta temperatura, en presencia de una base para producir éteres de monovinil.

###Los productos de monovinil éter son útiles en varios procesos industriales de síntesis.

###Interesa determinar qué condiciones producen una conversión máxima de metil glucósidos para diversos isómeros de monovinil.

cor(vinilacion) ###Pearson

cor(vinilacion, method=”spearman”) ###Spearman

## CREAR UNA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS (LOCALIZADAS ESTAS ÚLTIMAS EN LA DIAGONAL PRINCIPAL DE LA MATRIZ)

cov(vinilacion)

## GENERAR GRÁFICOS DE DISPERSIÓN

plot(temperatura,porcentaje.conversion)

plot(porcentaje.conversion~temperatura)

mod = lm(porcentaje.conversion~temperatura)

abline(mod,col=2)

###La sintaxis “lm” es usada para realizar ajuste de modelos lineales (es decir, ajustar un conjunto de datos a la curva dibujada por un modelo lineal -i.e., una línea recta-, lo cual -si es estadísticamente robusto- implica validar que el conjunto de datos en cuestión posee un patrón de comportamiento geométrico lineal).

###La sintaxis “lm” puede utilizar para el ajuste el método de los mínimos cuadrados ponderados o el método de mínimos cuadrados ordinarios, en función de si la opción “weights” se llena con un vector numérico o con “NULL”, respectivamente).

### La casilla “weights” de la sintaxis “lm” expresa las ponderaciones a utilizar para realizar el proceso de ajuste (si las ponderaciones son iguales para todas las observaciones, entonces el método de mínimos cuadrados ponderados se transforma en el método de mínimos cuadrados ordinarios). Estas ponderaciones son, en términos computacionales, aquellas que minimizan la suma ponderada de los errores al cuadrado.

###Las ponderaciones no nulas pueden user usadas para indicar diferentes varianzas (con los valores de las ponderaciones siendo inversamente proporcionales a la varianza); o, equivalentemente, cuando los elementos del vector de ponderaciones son enteros positivos w_i, en donde cada respuesta y_i es la media de las w_j unidades observacionales ponderadas (incluyendo el caso de que hay w_i observaciones iguales a y_i y los datos se han resumido).

###Sin embargo, en el último caso, observe que no se utiliza la variación dentro del grupo. Por lo tanto, la estimación sigma y los grados de libertad residuales pueden ser subóptimos; en el caso de pesos de replicación, incluso incorrecto. Por lo tanto, los errores estándar y las tablas de análisis de varianza deben tratarse con cuidado.

###La estimación sigma se refiere a la sintaxis “sigma” que estima la desviación estándar de los errores (véase https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/sigma.html).

###Si la variable de respuesta (o dependiente) es una matriz, un modelo lineal se ajusta por separado mediante mínimos cuadrados a cada columna de la matriz.

###Cabe mencionar que “formula” (la primera entrada de la sintaxis “lm”) tiene un término de intersección implícito (recuérdese que toda ecuación de regresión tiene un intercepto B_0, que puede ser nulo). Para eliminar dicho término, debe usarse y ~ x – 1 o y ~ 0 + x.

plot(presion~porcentaje.conversion)

mod = lm(presion~porcentaje.conversion) ###Ajuste a la recta antes mencionado y guardado bajo el nombre “mod”.

abline(mod,col=2) ###Es crear una línea color rojo (col=2) en la gráfica generada (con la función “mod”)

## REALIZAR PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

###Véase https://opentextbc.ca/introstatopenstax/chapter/testing-the-significance-of-the-correlation-coefficient/, https://online.stat.psu.edu/stat501/lesson/1/1.9,

###Para estar casi seguros (en relación al concepto de convergencia) Para asegurar que existe al menos una leve correlación entre dos variables (X,Y) se tiene que probar que el coeficiente de correlación poblacional (r) no es nulo.

###Para que la prueba de hipótesis tenga validez se debe verificar que la distribución de Y para cada X es normal y que sus valores han sido seleccionados aleatoriamente.

###Si se rechaza la hipótesis nula, no se asegura que haya una correlación muy alta.

###Si el valor p es menor que el nivel de significancia se rechaza la Ho de que el coeficiente de correlación entre Y y X es cero en términos de determinado nivel de significancia estadística.

###Evaluar la significancia estadística de un coeficiente de correlación puede contribuir a validar o refutar una investigación donde este se haya utilizado (siempre que se cuenten con los datos empleados en la investigación), por ejemplo, en el uso de modelos lineales de predicción.

###Se puede utilizar la distribución t con n-2 grados de libertad para probar la hipótesis.

###Como se observará a continuación, además de la forma estándar, también es posible calcular t como la diferencia entre el coeficiente de correlación.

###Si la probabilidad asociada a la hipótesis nula es casi cero, puede afirmarse a un nivel de confianza determinado de que la correlación es altamente significativa en términos estadísticos.

###FORMA MANUAL

ee = sqrt((1-coef.correlacion^2)/(n-2))

t.calculado = (coef.correlacion-0)/ee ###Aquí parece implicarse que el valor t puede calcularse como el cociente entre el coeficiente de correlación muestral menos el coeficiente de correlación poblacional sobre el error estándar de la media.

2*(1-pt(t.calculado,n-2))

###FORMA AUTOMATIZADA

cor.test(temperatura,porcentaje.conversion) ###El valor del coeficiente de correlación que se ha estipulado (que es cero) debe encontrarse dentro del intervalo de confianza al nivel de probabilidad pertinente para aceptar Ho y, caso contrario, rechazarla.

cor.test(temperatura,presion)

###Como se señala en https://marxianstatistics.com/2021/09/05/analisis-teorico-de-la-funcion-cuantil-en-r-studio/,  calcula el valor umbral x por debajo del cual se encuentran las observaciones sobre el fenómeno de estudio en una proporción P de las ocasiones (nótese aquí una definición frecuentista de probabilidad), incluyendo el umbral en cuestión.

qt(0.975,6)

### EJEMPLO DE APROXIMACIÓN COMPUTACIONAL DE LA DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

###El intervalo de confianza se calcula realizando la transformación-z de Fisher (tanto con la función automatizada de R como con la función personalizada elaborada) como a nivel teórico), la cual se utiliza porque cuando la transformación se aplica al coeficiente de correlación muestral, la distribución muestral de la variable resultante es aproximadamente normal, lo que implica que posee una varianza que es estable sobre diferentes valores de la correlación verdadera subyacente (puede ampliarse más en https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_transformation).

coef.correlacion+c(-1,1)*qt(0.975,6)*ee ###Intervalo de confianza para el estadístico de prueba sujeto de hipótesis (el coeficiente de correlación, en este caso) distribuido como una distribución t de Student.

coef.correlacion+c(-1,1)*qnorm(0.975)*ee ###Intervalo de confianza para el estadístico de prueba sujeto de hipótesis (el coeficiente de correlación, en este caso) distribuido normalmente.

## CASO DE APLICACIÓN HIPOTÉTICO

###En un estudio sobre el metabolismo de una especie salvaje, un biólogo obtuvo índices de actividad y datos sobre tasas metabólicas para 20 animales observados en cautiverio.

rm(list=ls()) ###Remover todos los objetos de la lista

actividad <- read.csv(“actividad.csv”, sep = “,”, dec=”.”, header = T)

attach(actividad)

n=nrow(actividad)

str(actividad)####”str” es para ver qué tipo de dato es cada variable.

plot(Indice.actividad,Tasa.metabolica)

###Coeficiente de Correlación de Pearson

cor(Indice.actividad,Tasa.metabolica, method=”pearson”)

###Se rechaza la hipótesis nula de que la correlación de Pearson es 0.

###Coeficiente de correlación de Spearman

(corr = cor(Indice.actividad,Tasa.metabolica, method=”spearman”))

(t.s=corr*(sqrt((n-2)/(1-(corr^2)))))

(gl=n-2)

(1-pt(t.s,gl))*2

###Se rechaza la hipótesis nula de que la correlación de Spearman es 0.

###NOTA ADICIONAL:

###Ambas oscilan entre -1 y 1. El signo negativo denota la relacion inversa entre ambas. La correlacion de Pearson mide la relación lineal entre dos variables (correlacion 0 es independencia lineal, que los vectores son ortogonales). La correlación de Pearson es para variables numérica de razón y tiene el supuesto de normalidad en la distribución de los valores de los datos. Cuando los supuestos son altamente violados, lo mejor es usar una medida de correlación no-paramétrica, específicamente el coeficiente de Spearman. Sobre el coeficiente de Spearman se puede decir lo mismo en relación a la asociación. Así, valores de 0 indican correlación 0, pero no asegura que por ser cero las variables sean independientes (no es concluyente).

### TABLAS DE CONTINGENCIA Y PRUEBA DE INDEPENDENCIA

###Una tabla de contingencia es un arreglo para representar simultáneamente las cantidades de individuos y sus porcentajes que se presentan en cada celda al cruzar dos variables categóricas.

###En algunos casos una de las variables puede funcionar como respuesta y la otra como factor, pero en otros casos sólo interesa la relación entre ambas sin intentar explicar la dirección de la relación.

###CASO DE APLICACIÓN HIPOTÉTICO

###Un estudio de ensayos clínicos trataba de probar si la ingesta regular de aspirina reduce la mortalidad por enfermedades cardiovasculares. Los participantes en el estudio tomaron una aspirina o un placebo cada dos días. El estudio se hizo de tal forma que nadie sabía qué pastilla estaba tomando. La respuesta es que si presenta o no ataque cardiaco (2 niveles),

rm(list=ls())

aspirina = read.csv(“aspirina.csv”, sep = “,”, dec=”.”, header = T)

aspirina

str(aspirina)

attach(aspirina)

names(aspirina)

str(aspirina)

View(aspirina)

#### 1. Determinar las diferencias entre la proporción a la que ocurrió un ataque dependiendo de la pastilla que consumió. Identifique el porcentaje global en que presentó ataque y el porcentaje global en que no presentó.

e=tapply(aspirina$freq,list(ataque,pastilla),sum) ###Genera la estructura de la tabla con la que se trabajará (la base de datos organizada según el diseño experimental previamente realizado).

prop.table(e,2) ###Riesgo Relativo columna. Para verificar esto, contrástese lo expuesto al inicio de este documento con la documentación CRAN [accesible mediante la sintaxis “?prop.table”] para más detalles.

prop.table(e,1) ###Riesgo Relativo fila. Para verificar esto, contrástese lo expuesto al inicio de este documento con la documentación CRAN [accesible mediante la sintaxis “?prop.table”] para más detalles.

(et=addmargins(e)) ###Tabla de contingencia.

addmargins(prop.table(e)) ####Distribución porcentual completa.

###Si se asume que el tipo de pastilla no influye en el hecho de tener un ataque cardíaco, entonces, debería de haber igual porcentaje de ataques en la columna de médicos que tomaron aspirina que en la de los que tomaron placebo.

###Se obtiene el valor esperado de ataques y no ataques.

### Lo anterior se realiza bajo el supuesto de que hay un 1.3% de ataques en general y un 98.7% de no ataques.

#### 2. Usando los valores observados y esperados, calcular el valor de Chi-Cuadrado para determinar si existe dependencia entre ataque y pastilla?

###Al aplicar la distribución Chi cuadrado, que es una distribución continua, para representar un fenómeno discreto, como el número de casos en cada unos de los supuestos de la tabla de 2*2, existe un ligero fallo en la aproximación a la realidad. En números grandes, esta desviación es muy escasa, y puede desecharse, pero cuando las cantidades esperadas en alguna de las celdas son números pequeños- en general se toma como límite el que tengan menos de cinco elementos- la desviación puede ser más importante. Para evitarlo, Yates propuso en 1934 una corrección de los métodos empleados para hallar el Chi cuadrado, que mejora la concordancia entre los resultados del cálculo y la distribución Chi cuadrado. En el articulo anterior, correspondiente a Chi cuadrado,  el calculador expone, además de los resultados de Chi cuadrado, y las indicaciones para decidir, con arreglo a los límites de la distribución para cada uno de los errores alfa admitidos, el rechazar o no la hipótesis nula, una exposición de las frecuencias esperadas en cada una de las casillas de la tabla de contingencia, y la advertencia de que si alguna de ellas tiene un valor inferior a 5 debería emplearse la corrección de Yates. Fuente: https://www.samiuc.es/estadisticas-variables-binarias/valoracion-inicial-pruebas-diagnosticas/chi-cuadrado-correccion-yates/.

###Como se señala en [James E. Grizzle, Continuity Correction in the χ2-Test for 2 × 2 Tables, (The American Statistician, Oct., 1967, Vol. 21, No. 4 (Oct., 1967), pp. 28-32), p. 29-30], técnicamente hablando, la corrección de Yates hace que “(…) las probabilidades obtenidas bajo la distribución χ2 bajo la hipótesis nula converjan de forma más cercana con las probabilidades obtenidas bajo el supuesto de que el conjunto de datos fue generado por una muestra proveniente de la distribución hipergeométrica, i.e., generados bajo el supuesto que los dos márgenes de la tabla fueron fijados con antelación al muestreo.”

###Grizzle se refiere con “márgenes” a los totales de la tabla (véase https://www.tutorialspoint.com/how-to-create-a-contingency-table-with-sum-on-the-margins-from-an-r-data-frame). Además, la lógica de ello subyace en la misma definición matemática de la distribución hipergeométrica. Como se puede verificar en RStudio mediante la sintaxis “?rhyper”, la distribución hipergeométrica tiene la estructura matemática (distribución de probabilidad) p(x) = choose(m, x) choose(n, k-x)/choose(m+n, k), en donde m es el número de éxitos, n es el número de fracasos lo que ) y k es el tamaño de la muestra (tanto m, n y k son parámetros en función del conjunto de datos, evidentemente), con los primeros dos momentos definidos por E[X] = μ = k*p y la varianza se define como Var(X) = k p (1 – p) * (m+n-k)/(m+n-1). De lo anterior se deriva naturalmente que para realizar el análisis estocástico del fenómeno modelado con la distribución hipergeométrica es necesario conocer la cantidad de sujetos que representan los éxitos y los fracasos del experimento (en donde “éxito” y “fracaso” se define en función del planteamiento del experimento, lo cual a su vez obedece a múltiples factores) y ello implica que se debe conocer el total de los sujetos experimentales estudiados junto con su desglose en los términos binarios ya especificados.

###Lo mismo señalado por Grizzle se verifica (citando a Grizzle) en (Biometry, The Principles and Practice of Statistics in Biological Research, Robert E. Sokal & F. James Rohlf, Third Edition, p. 737), especificando que se vuelve innecesaria la corrección de Yates aún para muestras de 20 observaciones.

###Adicionalmente, merece mención el hecho que, como es sabido, la distribución binomial se utiliza con frecuencia para modelar el número de éxitos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazo de una población de tamaño N. Sin embargo, si el muestreo se realiza sin reemplazo, las muestras extraídas no son independientes y, por lo tanto, la distribución resultante es una hipergeométrica; sin embargo, para N mucho más grande que n, la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación y se usa ampliamente (véase https://www.wikiwand.com/en/Binomial_distribution).

###Grados de libertad correspondientes: número de filas menos 1 por número de columnas menos 1.

###Ho = Hay independencia entre el ataque y las pastillas.

(tabla.freq<-xtabs(freq~ataque+pastilla, data=aspirina))

###La tabla de frecuencias contiene tanto las frecuencias observadas como las esperadas.

###La frecuencia esperada es el conteo de observaciones que se espera en una celda, en promedio, si las variables son independientes.

###La frecuencia esperada de una variable se calcula como el producto entre el cociente [(Total de la Columna j)/(Total de Totales)]*(Total Fila i).

###PRUEBA CHI-CUADRADO AUTOMATIZADA

(prueba.chi<-chisq.test(tabla.freq,correct=F) ) ###La sintaxis “chisq.test” sirve para realizar la prueba de Chi-Cuadrado en tablas de contingencia y para realizar pruebas de bondad de ajuste.

names(prueba.chi)

###PRUEBA CHI-CUADRADO PASO A PASO

(esperado<-prueba.chi$expected) ###valores esperados

(observado<-prueba.chi$observed) ###valores observados

(cuadrados<-(esperado-observado)^2/esperado)

(chi<-sum(cuadrados))

1-pchisq(chi,1) ###Valor de p de la distribución Chi-Cuadrado (especificada mediante el conjunto de datos) calculado de forma no-automatizada.

###Si el valor p es mayor que el nivel de significancia se falla en rechazar Ho, si es menor se rechaza Ho.

###Se rechaza Ho con un nivel de significancia alfa de 0.05. Puesto que se tiene una probabilidad muy baja de cometer error tipo I, i.e., rechazar la hipótesis nula siendo falsa.

GENERALIDADES Y ORÍGENES HISTÓRICOS DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

ISADORE NABI

SOBRE LA CREACIÓN Y DESTRUCCIÓN DE VALOR EN LOS SISTEMAS DE ECONOMÍA POLÍTICA CAPITALISTA EN PARTICULAR Y EN LOS SISTEMAS ECONÓMICOS EN GENERAL

ISADORE NABI

REFERENCIAS

Alan. (25 de Julio de 2011). ENGLISH LENGUAGE & USAGE. Obtenido de Stack Exchange: https://english.stackexchange.com/questions/35508/difference-between-partly-and-partially#:~:text=Use%20partly%20when%20the%20%22in,it’s%20also%20%22partly%20closed%22.

Andrews, D. W. (1991). An Empirical Process Central Limit Theorem for Dependent Non-identically Distributed Random Variables . Journal of Multivariate Analysis, 187-203.

Berk, K. (1973). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR m-DEPENDENT RANDOM VARIABLES WITH UNBOUNDED m. The Annals of Probability, 1(2), 352-354.

Borisov, E. F., & Zhamin, V. A. (2009). Diccionario de Economía Política. (L. H. Juárez, Ed.) Nueva Guatemala de la Asunción, Guatemala, Guatemala: Tratados y Manuales Grijalbo.

Cockshott, P., & Cottrell, A. (2005). Robust correlations between prices and labor values. Cambridge Journal of Economics, 309-316.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Valle Baeza, A. (2014). The Empirics of the Labour Theory of Value: Reply to Nitzan and Bichler. Investigación Económica, 115-134.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Zachariah, D. (29 de Marzo de 2019). Against the Kliman theory. Recuperado el 22 de Marzo de 2021, de Paul Cockshott: http://paulcockshott.co.uk/publication-archive/Talks/politicaleconomy/Against%20the%20Kliman%20price%20theory.pdf

Dedecker, J., & Prieur, C. (2007). An empirical central limit theorem for dependent sequences. Stochastic Processes and their Applications, 117, 121-142.

Díaz, E., & Osuna, R. (2007). Indeterminacy in price–value correlation measures. Empirical Economics, 389-399.

Emmanuel, A. (1972). El Intercambio Desigual. Ensayo sobre los antagonismos en las relaciones económicas internacionales. México, D.F.: Sigloveintiuno editores, s.a.

Farjoun, E., & Marchover, M. (1983). Laws of Chaos. A Probabilistic Approach to Political Economy. Londres: Verso Editions and NLB.

fast.ai. (3 de Diciembre de 2017). How to calculate Weighted Mean Absolute Error (WMAE)? Obtenido de Forums: https://forums.fast.ai/t/how-to-calculate-weighted-mean-absolute-error-wmae/8575

Flaschel, P., & Semmler, W. (1985). The Dynamic Equalization of Profit Rates for Input-Output Models with Fixed Capital. En Varios, & W. Semmler (Ed.), Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 1-34). New York: Springer-Verlag.

Flores Morador, F. (2013). Marx and the Moral Depreciation of Technology: Labor Value as Information. Social Science Research Network Electronic Journal, 1-16. Obtenido de https://internt.ht.lu.se/media/documents/project-778/Marx_and_the_moral_depreciation_of_technology.pdf

Fröhlich, N. (2012). Labour values, prices of production and the missing equalisation tendency of profit rates: evidence from the German economy. Cambridge Journal of Economics, 37(5), 1107-1126.

Glick, M., & Ehrbar, H. (1988). Profit Rate Equalization in the U.S. and Europe: An Econometric Investigation. European Journal of Political Economy, 179-201.

Gloria-Palermo, S. (2010). Introducing Formalism in Economics: The Growth Model of John von Neumann. Panoeconomicus, 153-172.

Godwin, H., & Zaremba, S. (1961). A Central Limit Theorem for Partly Dependent Variables. The Annals of Mathematical Statistics, 32(3), 677-686.

Guerrero, D. (Octubre-diciembre de 1997). UN MARX IMPOSIBLE: EL MARXISMO SIN TEORÍA LABORAL DEL VALOR. 57(222), 105-143.

Investopedia. (23 de Agosto de 2020). The Difference Between Standard Deviation and Average Deviation. Obtenido de Advanced Technical Analysis Concepts : https://www.investopedia.com/ask/answers/021215/what-difference-between-standard-deviation-and-average-deviation.asp

Kliman, A. (2002). The law of value and laws of statistics: sectoral values and prices in the US economy, 1977-97. Cambridge Journal of Economics, 299-311.

Kliman, A. (2005). Reply to Cockshott and Cottrell. Cambridge Journal of Economics, 317-323.

Kliman, A. (2014). What is spurious correlation? A reply to Díaz and Osuna. Journal of Post Keynesian Economics, 21(2), 345-356.

KO, M.-H., RYU, D.-H., KIM, T.-S., & CHOI, Y.-K. (2007). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR GENERAL WEIGHTED SUMS OF LNQD RANDOM VARIABLES AND ITS APPLICATION. ROCKY MOUNTAIN JOURNAL OF MATHEMATICS, 37(1), 259-268.

Kuhn, T. (2011). La Estructura de las Revoluciones Científicas. México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Kuroki, R. (1985). The Equalizartion of the Rate of Profit Reconsidered. En W. Semmler, Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 35-50). New York: Springer-Velag.

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1994). Curso de Física Teórica. Mecánica (Segunda edición corregida ed.). (E. L. Vázquez, Trad.) Barcelona: Reverté, S.A.

Leontief, W. (1986). Input-Output Economics. Oxford, United States: Oxford University Press.

Levins, R. (Diciembre de 1993). A Response to Orzack and Sober: Formal Analysis and the Fluidity of Science. The Quarterly Review of Biology, 68(4), 547-55.

LI, X.-p. (2015). A Central Limit Theorem for m-dependent Random Variables under Sublinear Expectations. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 31(2), 435-444. doi:10.1007/s10255-015-0477-1

Marquetti, A., & Foley, D. (25 de Marzo de 2021). Extended Penn World Tables. Obtenido de Extended Penn World Tables: Economic Growth Data assembled from the Penn World Tables and other sources : https://sites.google.com/a/newschool.edu/duncan-foley-homepage/home/EPWT

Marx, K. H. (1989). Contribución a la Crítica de la Economía Política. (M. Kuznetsov, Trad.) Moscú: Editorial Progreso.

Marx, K. H. (2010). El Capital (Vol. I). México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Mindrila, D., & Balentyne, P. (2 de Febrero de 2021). Scatterplots and Correlation. Obtenido de University of West Georgia: https://www.westga.edu/academics/research/vrc/assets/docs/scatterplots_and_correlation_notes.pdf

Mora Osejo, L. (1 de Enero de 1992). Reseñas y Comentarios. John von Neumann and Modern Economics. Goodwin, Dore, Chakavarty. Cuadernos de Economía, 12(17), 215-221. Obtenido de https://revistas.unal.edu.co/index.php/ceconomia/article/view/19349/20301

Moseley, F. (2015). Money and Totality. Leiden, South Holland, Netherlands: BRILL.

Nabi, I. (2020). SOBRE LA LEY DE LA TENDENCIA DECRECIENTE DE LA TASA MEDIA DE GANANCIA. Raíces Unitarias y No Estacionariedad de las Series de Tiempo. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.files.wordpress.com/2020/12/analisis-del-uso-de-la-prueba-de-hipotesis-en-el-contexto-de-la-especificacion-optima-de-un-modelo-de-regresion-isadore-nabi-2.pdf

Nabi, I. (2021). Lecciones de Gnoseología Marxiana I. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.com/2021/04/09/lecciones-de-gnoseologia-marxiana-i-lessons-of-marxian-gnoseology-i/

NABI, I. (1 de Abril de 2021). SOBRE LA METODOLOGÍA DEL U.S. BUREAU OF ECONOMIC ANALYSIS PARA LA REDEFINICIÓN Y REASIGNACIÓN DE PRODUCTOS EN LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DE ESTADOS UNIDOS. Obtenido de ECONOMÍA POLÍTICA: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/sobre-la-metodologia-del-u-s-bureau-of-economic-analysis-para-la-redefinicion-y-reasignacion-de-productos-en-la-matriz-insumo-producto-de-estados-unidos/

NABI, I., & B.A., A. (1 de Abril de 2021). UNA METODOLOGÍA EMPÍRICA PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD DE LAS INTERRELACIONES SECTORIALES DENTRO DE LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DESDE LOS CUADROS DE PRODUCCIÓN Y USOS PARA EL CASO DE ESTADOS UNIDOS 1997-2019. Obtenido de EL BLOG DE ISADORE NABI: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/una-metodologia-empirica-para-la-determinacion-de-la-magnitud-de-las-interrelaciones-sectoriales-dentro-de-la-matriz-insumo-producto-desde-los-cuadros-de-oferta-utilizacion-para-el-caso-de-estados-uni/

OECD. (25 de Septiembre de 2005). SCRAPPING. Obtenido de GLOSSARY OF STATISTICAL TERMS: https://stats.oecd.org/glossary/detail.asp?ID=2395

Parzen, E. (1957). A Central Limit Theorem for Multilinear Stochastic Processes. The Annals of Mathematical Statistics, 28(1), 252-256.

Pasinetti, L. (1984). Lecciones Sobre Teoría de la Producción. (L. Tormo, Trad.) México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Real Academia Española. (18 de 03 de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición del Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/transitar?m=form

Real Academia Española. (23 de Marzo de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/ecualizar?m=form

Rosental, M. M., & Iudin, P. F. (1971). DICCIONARIO FILOSÓFICO. San Salvador: Tecolut.

Rosental, M., & Iudin, P. (1971). Diccionario Filosófico. San Salvador: Tecolut.

Sánchez, C. (Diciembre de 2013). Inconsistencia de la teoría neoclásica: aplicación del análisis dimensional a la economía. ECONOMÍA HOY, 4-6. Obtenido de https://www.uca.edu.sv/economia/wp-content/uploads/012-ECONOMIA-HOY-A-DIC2013.pdf

Sánchez, C., & Ferràndez, M. N. (Octubre-diciembre de 2010). Valores, precios de producción y precios de mercado a partir de los datos de la economía española. Investigación Económica, 87-118. Obtenido de https://www.jstor.org/stable/42779601?seq=1

Sánchez, C., & Montibeler, E. E. (2015). La teoría del valor trabajo y los precios en China. Economia e Sociedade, 329-354.

StackExchange. (12 de Enero de 2014). Mean absolute deviation vs. standard deviation. Obtenido de Cross Validated: https://stats.stackexchange.com/questions/81986/mean-absolute-deviation-vs-standard-deviation

Steedman, I., & Tomkins, J. (1998). On measuring the deviation of prices from values. Cambridge Journal of Economics, 379-385.

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Supply Tables – Domestic supply of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=3&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Make Tables/After Redefinitions – Production of commodities by industry after redefinition of secondary production ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=5&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Use Tables – Use of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=4&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Use Tables/After Redefinitions/Producer Value – Use of commodities by industry after reallocation of inputs ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=6&aggregation=sum

Valle Baeza, A. (1978). Valor y Precios de Producción. Investigación Económica, 169-203.

Walras, L. (1954). Elements of Pure Economics or The Theory of Social Wealth. (W. Jaffé, Trad.) Homewood, Ilinois, Estados Unidos: Richard D. Irwin, Inc.

Wikipedia. (25 de Enero de 2021). Trabajo (física). Obtenido de Magnitudes termodinámicas: https://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)

Wikipedia. (17 de Marzo de 2021). Work (physics). Obtenido de Energy (physics): https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)

Wooldridge, J. M. (2010). Introducción a la Econometría. Un Enfoque Moderno (Cuarta ed.). México, D.F.: Cengage Learning.

Zachariah, D. (Junio de 2006). Labour value and equalisation of profit rates: a multi-country study. Indian Development Review, 4, 1-20.

LECCIONES DE GNOSEOLOGÍA MARXIANA I (LESSONS ON MARXIAN GNOSEOLOGY I)

isaDORE NABI

xiii. REFERENCIAS (references)

Bayes, T. (23 de Diciembre de 1763). An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 370-418.

Bernoulli, J. (2006). The Art of Conjecturing (Together to a Friend on Sets in Court Tennis). Maryland: John Hopkins University Press.

Crupi, V. (28 de Enero de 2020). Confirmation. Obtenido de Stanford Encyclopedia of Philosophy: https://plato.stanford.edu/entries/confirmation/

DeGroot, M., & Schervish, M. (2012). Probability and Statistics. Boston: Pearson Education.

Dussel, E. (1991). 2. El método dialéctico de lo abstracto a lo concreto (20, 41-33, 14; 21,3-31,38) :(Cuaderno M. desde la página 14 del manuscrito, terminado a mediados deseptiembre de 1857). En E. Dussel, La producción teórica de Marx: un comentario a los grundrisse (págs. 48-63). México D.F.: Siglo XXI Editores. Obtenido de http://biblioteca.clacso.edu.ar/clacso/otros/20120424094653/3cap2.pdf

Efron, B. (1978). Controversies in the Foundations of Statistics. The American Mathematical Monthly, 231-246.

Eremenko, A. (30 de Abril de 2020). Stack Exchange, History of Sciences and Mathematics. Obtenido de What was Kolmogorov’s point of view in the philosophy of mathematics?: https://hsm.stackexchange.com/questions/11730/what-was-kolmogorov-s-point-of-view-in-the-philosophy-of-mathematics

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Tercera ed., Vol. I). New York: John Wiley & Sons, Inc.

Filosofía en español. (9 de Febrero de 2018). Diccionario filosófico abreviado. Obtenido de URSS: http://www.filosofia.org/urss/dfa1959.htm

Fröhlich, N. (2012). Labour values, prices of production and the missing equalisation tendency of profit rates: evidence from the German economy. Cambridge Journal of Economics, 37(5), 1107-1126.

Frolov, I. T. (1984). Diccionario de filosofía. (O. Razinkov, Trad.) Moscú: Editorial Progreso. Obtenido de http://filosofia.org/

Fundación del Español Urgente. (23 de Marzo de 2021). Formación de gentilicios extranjeros. Obtenido de Lista de topónimos y gentilicios: https://www.wikilengua.org/index.php/Formaci%C3%B3n_de_gentilicios_extranjeros

Fundación del Español Urgente. (23 de Marzo de 2021). -ista (sufijo). Obtenido de Sufijos: https://www.wikilengua.org/index.php/-ista_(sufijo)

Gigerenzer, G. (2004). Mindless Statistics. The Journal of Socio-Economics, 587-606.

Greene, W. H. (2012). Econometric Analysis (International Edition). Essex: Pearson Education Limited.

Guerrero Jiménez, D. (2018). TRABAJO IMPRODUCTIVO, CRECIMIENTO Y TERCIARIZACIÓN (30 AÑOS DESPUÉS DE MARX Y KEYNES). International Journal of Political Economy, 1-16. Obtenido de https://www.researchgate.net/publication/327189598_Diego_Guerrero_TRABAJO_IMPRODUCTIVO_CRECIMIENTO_Y_TERCIARIZACION_30_ANOS_DESPUES_DE_MARX_Y_KEYNES

Haldane, J. B. (1945). Science and Everyday Life. Allahabad,: Kitab Mahal Publishers.

Hegel, F. (1968). Ciencia de la Lógica. Buenos Aires: Solar / Hachette.

Johnsen, J. (17 de Enero de 2019). What is the difference between positivism and empiricism? Obtenido de Quora: https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-positivism-and-empiricism

Kohan, N., & Brito, P. (1 de Febrero de 2009). Marxismo para principiantes. Obtenido de nodo50: https://info.nodo50.org/Diccionario-basico-de-categorias.html

Kojevnikov, A. (19 de Junio de 2019). PROBABILITY, MARXISM, AND QUANTUM ENSEMBLES. Obtenido de The University of British Columbia: https://history.ubc.ca/wp-content/uploads/sites/23/2019/06/probability2012.pdf

Kolmogórov, A. (1956). Foundations of the Theory of Probability (Segunda Edición ed.). New York: Chelsea Publishing Company.

Laplace, P.-S. (2015). Ensayo Filosófico Sobre Probabilidades. Ciudad de México: Biblioteca Digital del Instituto Latinoamericano de Comunicación Educativa. Obtenido de http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/Colecciones/ReinaCiencias/_docs/EnsayoFilosoficoProbabilidades.pdf

Lenin, V. (1974). Cuadernos Filosóficos. Madrid: Editorial Ayuso.

Loughborough University. (21 de Febrero de 2008). Total Probability and Bayes’ Theorem. Obtenido de The theorem of total probability: https://learn.lboro.ac.uk/archive/olmp/olmp_resources/pages/workbooks_1_50_jan2008/Workbook35/35_4_total_prob_bayes_thm.pdf

Maibaum, G. (1988). Teoría de Probabilidades y Estadística Matemática. (M. Á. Pérez, Trad.) La Habana, Cuba: Editorial Pueblo y Educación.

Marx, K. (1894). Capital. A Critique of Political Economy (Vol. III). New York: International Publishers.

Marx, K. (1989). Contribución a la Crítica de la Economía Política. Moscú: Editorial Progreso.

Marx, K. (2007). Elementos Fundamentales para la Crítica de la Economía Política (Grundrisse) 1857-1858 (Vol. I). (J. Aricó, M. Murmis, P. Scaron, Edits., & P. Scaron, Trad.) México, D.F.: Siglo XXI Editores.

Marx, K. (2010). El Capital (Vol. I). México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Marx, K., & Engels, F. (1987). Karl Marx and Friedrich Engels Collected Works (Vol. XLII). Moscú: Progress Publishers.

Mittelhammer, R. (2013). Mathematical Statistics for Economics and Business (Segunda ed.). New York: Springer.

Nabi, I. (2020). Algunas Reflexiones Sobre la Distribución Binomial Negativa II (Un Análisis Teórico y Aplicado). Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.files.wordpress.com/2020/12/algunas-reflexiones-sobre-la-distribucion-binomial-negativa-ii-isadore-nabi-2.pdf

Nabi, I. (21 de Marzo de 2021). Sobre el papel y la viabilidad de la violencia en la lucha social de las mujeres en particular y en las luchas sociales en general. Obtenido de El Blog de Isadore Nabi: https://marxianstatistics.com/2021/03/11/sobre-el-papel-y-viabilidad-de-la-violencia-en-la-lucha-social-de-las-mujeres-en-particular-y-en-la-lucha-social-en-general/

Nabi, I., & B.A., A. (1 de Abril de 2021). UNA METODOLOGÍA EMPÍRICA PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD DE LAS INTERRELACIONES SECTORIALES DENTRO DE LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DESDE LOS CUADROS DE PRODUCCIÓN Y USOS PARA EL CASO DE ESTADOS UNIDOS 1997-2019. Obtenido de El Blog de Isadore Nabi: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/una-metodologia-empirica-para-la-determinacion-de-la-magnitud-de-las-interrelaciones-sectoriales-dentro-de-la-matriz-insumo-producto-desde-los-cuadros-de-oferta-utilizacion-para-el-caso-de-estados-uni/

North Carolina State University. (27 de Septiembre de 2020). People – Department of History . Obtenido de Dr Edith D Sylla: https://history.ncsu.edu/people/faculty_staff/edsssl

Perezgonzalez, J. (3 de Marzo de 2015). Fisher, Neyman-Pearson or NHST? A tutorial for teaching data testing. (L. Roberts, Ed.) Frontiers in Psychology, 6(223), 1-11. doi:10.3389/fpsyg.2015.00223

Poisson, S.-D. (2013). Researches into the Probabilities of Judgments in Criminal and Civil Cases. (O. Sheynin, Ed.) Berlin: arXiv. Obtenido de https://arxiv.org/abs/1902.02782

Radboud Univeristy. (11 de Febrero de 2011). Faculty of Philosophy, Theology and Religious Studies. Obtenido de Center for the History of Philosophy and Science. Edith Dudley Sylla: https://www.ru.nl/ptrs/chps/about-us/former-members/vm/sylla/

Rosental, M. (1961). Los problemas de la dialéctica en “EL CAPITAL” de Marx. Montevideo: Ediciones Pueblos Unidos.

Rosental, M. M., & Iudin, P. F. (1971). DICCIONARIO FILOSÓFICO. San Salvador: Tecolut.

Rosental, M., & Iudin, P. (1959). Diccionario filosófico abreviado. Montevideo: Ediciones Pueblos Unidos.

Russell, K. (29 de Enero de 2014). University of Manitoba. Obtenido de Hypothesis testing: http://home.cc.umanitoba.ca/~krussll/stats/hypothesis-testing.html

StackExchange Philosophy. (15 de Junio de 2015). How empiricism and positivism is distinguished? What’s their differences? Obtenido de Philosophy: https://philosophy.stackexchange.com/questions/24937/how-empiricism-and-positivism-is-distinguished-whats-their-differences

TECH2 NEWS STAFF. (28 de Noviembre de 2019). SCIENTISTS MAY HAVE DISCOVERED A FIFTH FUNDAMENTAL ‘FORCE OF NATURE,’ THEY’RE CALLING IT X17. Obtenido de TECH2: https://www.firstpost.com/tech/science/scientists-may-have-discovered-a-fifth-fundamental-force-of-nature-theyre-calling-it-x17-7710261.html

Wikipedia. (27 de Septiembre de 2020). Population Genetics. Obtenido de J. B. S. Haldane: https://es.wikipedia.org/wiki/John_Burdon_Sanderson_Haldane

Wikipedia. (23 de Septiembre de 2020). Statistics. Obtenido de Inverse Probability: https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_probability

Wikipedia. (13 de Marzo de 2021). Relación de incertidumbre. Obtenido de Mecánica cuántica: https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_indeterminaci%C3%B3n_de_Heisenberg

Williamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. Oxford: Oxford University Press.